高中数学已知（1/2+2x)^n展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。
谢谢
(1/2+2x)^n的前三项的二项式系数的和是79，就是
1+C(n,1)+C(n,2)=79
--->1+n+n(n-1)/2=79
--->n^2+n-156=0
--->n=12。
(1/2+2x)^12的第r+1项
T(r+1)=C(12,r)(1/2)^(12-r)*(2x)^r
=C(12,r)*2^(2r-12)*x^r
其系数为 C(12,r)*2^(2r-12)其中最大的,满足
C(12,r)*2^(2r-12)>=C(12,r-1)*2^(2r-14)
C(12,r)*2^(2r-12)>=C(12,r+1)*2^(2r-10)
--->12!/[r!(12-r)!...全部
(1/2+2x)^n的前三项的二项式系数的和是79，就是
1+C(n,1)+C(n,2)=79
--->1+n+n(n-1)/2=79
--->n^2+n-156=0
--->n=12。
(1/2+2x)^12的第r+1项
T(r+1)=C(12,r)(1/2)^(12-r)*(2x)^r
=C(12,r)*2^(2r-12)*x^r
其系数为 C(12,r)*2^(2r-12)其中最大的,满足
C(12,r)*2^(2r-12)>=C(12,r-1)*2^(2r-14)
C(12,r)*2^(2r-12)>=C(12,r+1)*2^(2r-10)
--->12!/[r!(12-r)!]>=12!/[(r-1)!(13-r)!]*2^(-2)
。
。。。12!/[r!(12-r)!]>=12!/[(r+1)!(11-r)!]*2^2
--->4(13-r)>=r
。。。。r+1>=4(12-r)
--->9。4=r=10
所以展开式中的系数最大项是T11=C(12,10)*2^8*x^10=4224x^10。
收起
