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函数题目

已知函数f(x)=e^x-ax-1(a>0,e为自然对数底数).(1)求f(x)最小值;(2)若f(x)≥0对任意x∈R恒成立,求实数a值;(3)在(2)的条件下,证明:(1/n)^n+(2/n)^n+···+((n-1)/n)^n+(n/n)^n<e/(e-1)(其中,n∈N*)。

全部回答

2013-03-03

0 0

    (1)由题意a>0,f'(x)=e^x-a, f'(x)=0→x=㏑a。 当x∈(-∞,㏑a)时,f'(x)0。 ∴f(x)在(-∞,+㏑a)上单调递减,在(㏑a,+∞)上单调递增。
   即f(x)在x=㏑a处取得极小值,且为最小值, 其最小值为:f(a)=a^㏑a-a㏑a-1=a-a㏑a-1。   (2)f(x)≥0对任意x∈R恒成立,即在x∈R上,f(x)|min≥0。
   由(1),设g(a)=a-a㏑a-1→g(a)≥0。 g'(a)=1-㏑a-1=0→a=1。 易知g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴g(a)在a=1处取得最大值, 而g(1)=0,故g(a)≥0的解为a=1。
     ∴a=1。 (3)由(2)知,对任意实数x均有 e^x-x-1≥1→1+x≤e^x。 令x=-k/n(n∈R*,k=0,1,2,3,···,n-1), 则0<1-k/n≤e^(-k/n)。
   ∴(1-k/n)^n≤[e^(-k/n)]^n=e^(-k)。   ∴(1/n)+(2/n)^n+···+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n <e^[-(n-1)]+e^[-(n-2)]+···+e^(-2)+e^(-1)+1 =[1-e^(-n)]/[1-e^(-1)] <1/[2-e^(-1)] =e/(e-1)。
     证毕。 。

2013-02-22

191 0

    (1)求导 f'(x)=e^x-a=0 x=lna xlna,f'(x)>0 f(lna)=a-alna-1 (2)a-alna-1=0 设g(x)=x-xlnx g'(x)=lnx g(1)=0 g'(1)=0 x1 g'(x)>0 g(x)最小值g(1)=0 故g(x)=0有唯一解x=1 即a=1 (3)由(2)e^x ≥ x + 1 (1/n)^n = (1 + (1 - n)/n)^n < e^(1-n) (2/n)^n = (1 + (2 - n)/n)^n < e^(2-n) 。
    。。。 左右两边分别相加 右边用等比数列求和,得证。

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