函数题目
已知函数f(x)=e^x-ax-1(a＞0，e为自然对数底数).(1)求f(x)最小值；(2)若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a值；(3)在(2)的条件下，证明:(1/n)^n+(2/n)^n+···+((n-1)/n)^n+(n/n)^n＜e/(e-1)(其中，n∈N*)。
全部回答
(1)由题意a>0，f'(x)=e^x-a，
f'(x)=0→x=㏑a。
当x∈(-∞，㏑a)时，f'(x)0。
∴f(x)在(-∞，+㏑a)上单调递减，在(㏑a，+∞)上单调递增。
即f(x)在x=㏑a处取得极小值，且为最小值，
其最小值为:f(a)=a^㏑a-a㏑a-1=a-a㏑a-1。
(2)f(x)≥0对任意x∈R恒成立，即在x∈R上，f(x)|min≥0。
由(1)，设g(a)=a-a㏑a-1→g(a)≥0。
g'(a)=1-㏑a-1=0→a=1。
易知g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
∴g(a)在a=1处取得最大值，
而g(1)=0，故g(a)≥0的解为a=1。
∴a=1。
(3)由(2)知，对任意实数x均有
e^x-x-1≥1→1+x≤e^x。
令x=-k/n(n∈R＊，k=0，1，2，3，···，n-1)，
则0<1-k/n≤e^(-k/n)。
∴(1-k/n)^n≤[e^(-k/n)]^n=e^(-k)。
∴(1/n)+(2/n)^n+···+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n
<e^[-(n-1)]+e^[-(n-2)]+···+e^(-2)+e^(-1)+1
=[1-e^(-n)]/[1-e^(-1)]
<1/[2-e^(-1)]
=e/(e-1)。
证毕。
。
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