已知函数当时,求函数在上的极值;证明:当时,;证明:(,,其中为自然对数的底数)

已知函数f（x）=（ax2-2x 1）?e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（

（ I）当a=1时，f（x）=（x2-2x 1）?e-x，f'（x）=（2x-2）?e-x-（x2-2x 1）?e-x=-（x-1）（x-3）?e-x…（2分）当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表： x （-∞，1） 1 （1，3） 3 （3， ∞） f'（x） - 0 0 - f（x） 递减 极小值 递增 极大值 递减所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（1）=0，极大值为f（3）=4e-3．…（5分）（ II）f'（x）=（2ax-2）?e-x-（ax2-2x 1）?e-x=-e-x[ax2-2ax-2x 3...全部

  （ I）当a=1时，f（x）=（x2-2x 1）?e-x，f'（x）=（2x-2）?e-x-（x2-2x 1）?e-x=-（x-1）（x-3）?e-x…（2分）当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表： x （-∞，1） 1 （1，3） 3 （3， ∞） f'（x） - 0 0 - f（x） 递减 极小值 递增 极大值 递减所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（1）=0，极大值为f（3）=4e-3．…（5分）（ II）f'（x）=（2ax-2）?e-x-（ax2-2x 1）?e-x=-e-x[ax2-2ax-2x 3]令g（x）=ax2-2（a 1）x 3①若a=0，则g（x）=-2x 3，在（-1，1）内，g（x）＞0，即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（7分）②若a＞0，则g（x）=ax2-2（a 1）x 3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝a 1a＞1，当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（9分）③若a＜0，则g（x）=ax2-2（a 1）x 3，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当g(?1)≥0g(1)≥0，即?53≤a＜0时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．…（11分）综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是?53≤a≤1．…（12分）。
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