求y=(2-sinx)/(2-cosx)的值域
求y=(2-sinx)/(2-cosx)的值域
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解法一:
y=(2-sinx)/(2-cosx)
→sinx-ycosx=2-2y。
构造向量z1=(1，-y)，z2=(sinx，cosx)，则
|z1|^2·|z2|^2≥|z1·z2|^2
→[1+(-y)^2][(sinx)^2+(cosx)^2]≥(sinx-ycosx)^2
→1+y^2≥(2-2y)^2
→3y^2-8y+3≤0
→(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3
故函数值域为[(4-√7)/3，(4+√7)/3]。
解法二: 设t=tan(x/2)，则 sinx=2t/(1+t^2)，cosx=(1-t^2)/(1+t^2)， 代入原式整理得 (3y-2)t^2+2t+y-2=0。
判别式△≥0， ∴4-4(3y-2)(y-2)≥0 →3y^2-8y+3≤0 →(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3 即函数值域为:[(4-√7)/3，(4+√7)/3]。 。
解法二: 设t=tan(x/2)，则 sinx=2t/(1+t^2)，cosx=(1-t^2)/(1+t^2)， 代入原式整理得 (3y-2)t^2+2t+y-2=0。
判别式△≥0， ∴4-4(3y-2)(y-2)≥0 →3y^2-8y+3≤0 →(4-√7)/3≤y≤(4+√7)/3 即函数值域为:[(4-√7)/3，(4+√7)/3]。 。
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