一道容积的函数题

导数应用题用半径为R的圆铁皮剪出一个圆心角为a(阿尔法)的扇形,制成一个圆锥形容器,当扇形的圆心角a多大时,容器的容积最大?(用导数做)

用半径为R的圆铁皮剪出一个圆心角为a(阿尔法)的扇形,制成一个圆锥形容器,当扇形的圆心角a多大时,容器的容积最大?(用导数做) 圆心角为a的铁皮-圆锥体积- ftshengxia 圆锥底面半径r=αR/2π，圆锥底面面积S=(αR)^2/4π， S(max)=2πR^2 /3 圆锥高h=√[R^2-(αR/2π)^2]=R√[1-(α/2π)^2]。 h(max)=R/√3 圆锥体积V=Sh/3=α^2*R^3√[1-(α/2π)^2 ]/12π。 V(max)=2πR^3/9√3 dV/dα= R^3{2α√[1-(α/2π)^2]-...全部

  用半径为R的圆铁皮剪出一个圆心角为a(阿尔法)的扇形,制成一个圆锥形容器,当扇形的圆心角a多大时,容器的容积最大?(用导数做) 圆心角为a的铁皮-圆锥体积- ftshengxia 圆锥底面半径r=αR/2π，圆锥底面面积S=(αR)^2/4π， S(max)=2πR^2 /3 圆锥高h=√[R^2-(αR/2π)^2]=R√[1-(α/2π)^2]。
   h(max)=R/√3 圆锥体积V=Sh/3=α^2*R^3√[1-(α/2π)^2 ]/12π。 V(max)=2πR^3/9√3 dV/dα= R^3{2α√[1-(α/2π)^2]-α^3/[4π^2√ [1-(α/2π)^2]]} /12π, dV/dα=0 ===>[2α√[1-(α/2π)^2]-α^3/4π^2√[1-(α/2π)^2]=0; α<2π,上式等效于： 2α [1-(α/2π)^2] -α^3/4π^2=0, 2-2(α/2π)^2 -α^2/4π^2=0，2=3(α/2π)^2 α^2=(8π^2)/3。
   α=2π√2 /√3= 5。1302。 r/R=α/2π=√(2/3)=0。8165 V= (8π^2)/3*R^3/(12π√3) =2πR^3/(9√3)= 0。4031 R^3 。
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