做一个圆锥形的无盖容器，试问怎样下料做成的容器最大？

高三不等式问题在半径为R的圆形铁皮上割

可以参考前两天做过的一题： 借用楼上的图 由于圆锥的侧面展开图是扇形, 所以“怎样下料”意求其侧面展开扇形的中心角α, 设圆锥的底面半径为r, 高为h, 所需扇形的中心角为α, 则 则 2πr=αR ==> r=αR/2π 又 h=√(R²-r²)=√[R²-(Rα/2π)²]=R√(4π²-α²)/2π 故 `V²=R⁶/(24π²)²·α²·α²·(4π²-α²) =1/2·R⁶/(24π²)²·α²·α...全部

  可以参考前两天做过的一题： 借用楼上的图 由于圆锥的侧面展开图是扇形, 所以“怎样下料”意求其侧面展开扇形的中心角α, 设圆锥的底面半径为r, 高为h, 所需扇形的中心角为α, 则 则 2πr=αR ==> r=αR/2π 又 h=√(R²-r²)=√[R²-(Rα/2π)²]=R√(4π²-α²)/2π 故 `V²=R⁶/(24π²)²·α²·α²·(4π²-α²) =1/2·R⁶/(24π²)²·α²·α²·(8π²-2α²) ≤1/2·R⁶/(24π²)²·{[α²+α²+(8π²-2α²]/3}³ =4π²R⁶/243 当且仅当α²=8π²-2α², 即α=2π√6/3时容积取最大值。
   也就是割去的扇形圆心角为θ=2π-2π√6/3=2π(1-√6/3)时有最大容积。 Vmax=2πR³√3/27 。收起