高二数学题第一题：直三棱柱ABC
因为每个题目都涉及到几个小题，而上传文件有大小限制，所以作图有点复杂，看起来有点困难，请谅解。
第一题：直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ABC=90°，AB=a,BC=b,BB1=c,M,N为B1C1和AC中点，求
（1）异面直线AB1与BC1成角
因为是直三棱柱，且∠ABC=90° ，AB=a，BC=b，BB1=c
所以，由勾股定理可以得到：
AC=√(a^2+b^2)
BC1=√(b^2+c^2)
AB1=√(a^2+c^2)
过点M作BC的垂线，垂足为E，且ME交BC1于点O；
取AB中点F，BB1中点G，连接EF、EN、MG、MN、FG
因为点M、G分别为B1C1、BB1中点
所以...全部
因为每个题目都涉及到几个小题，而上传文件有大小限制，所以作图有点复杂，看起来有点困难，请谅解。
第一题：直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ABC=90°，AB=a,BC=b,BB1=c,M,N为B1C1和AC中点，求
（1）异面直线AB1与BC1成角
因为是直三棱柱，且∠ABC=90° ，AB=a，BC=b，BB1=c
所以，由勾股定理可以得到：
AC=√(a^2+b^2)
BC1=√(b^2+c^2)
AB1=√(a^2+c^2)
过点M作BC的垂线，垂足为E，且ME交BC1于点O；
取AB中点F，BB1中点G，连接EF、EN、MG、MN、FG
因为点M、G分别为B1C1、BB1中点
所以，MG为△B1BC1中位线
所以，MG//BC1，且MG=BC1/2=√(b^2+c^2)/2
同理，FG//AB1，且FG=AB1/2=√(a^2+c^2)/2
EF//AC，且EF=AC/2=√(a^2+b^2)/2
那么，∠MGF就是异面直线AB1与BC1所成的角
因为ME⊥BC
所以，ME=BB1=c
所以，在Rt△MEF中由勾股定理得到：MF^2=ME^2+EF^2=c^2+[√(a^2+b^2)/2]^2=c^2+(a^2+b^2)/4=(a^2+b^2+4c^2)/4
则，在△MGF中，由余弦定理有：cos∠MGF=(MG^2+FG^2-MF^2)/(2MG*FG)
即：cos∠MGF=[(b^2+c^2)/4+(a^2+c^2)/4-(a^2+b^2+4c^2)/4]/[2*√(b^2+c^2)/2*√(a^2+c^2)/2]
=-c^2/[√(b^2+c^2)*(a^2+c^2)]＜0
因为异面直线间所成的角为锐角
所以，∠MGF=π-arccos[c^2/√(b^2+c^2)*(a^2+c^2)]
（2）MN长
因为点E、N分别为BC、AC中点，所以EN为△ABC中位线
所以，EN=AB/2=a/2
而ME⊥面ABC，且ME=BB1=c
所以，由勾股定理有：MN^2=ME^2+NE^2=c^2+(a/2)^2=c^2+(a^2/4)=(c^2+4a^2)/4
所以，MN=√(c^2+4a^2)/2
（3）MN与底面ABC所成角
MN与底面ABC所成的角就是∠MNE
所以，tan∠MNE=ME/EN=c/(a/2)=2c/a
所以，∠MNE=arctan(2c/a)
第二题：四棱锥S-ABCD的底面边长为4,高为6,P是高的中点,点Q是侧面SBC的重心。
求
（1）P,Q两点间距离
因为S-ABCD为正四棱锥，所以侧棱SA=SB=SC=SD
过点S作底面ABCD的垂线，垂足为O
则，点O为底面正方形ABCD的中心
已知ABCD边长为4，所以：OA=OB=OC=OD=2√2
已知SO=6
所以，由勾股定理得到侧棱SA=SB=SC=SD=2√11
连接SQ并延长，交BC于点E
因为SB=SC
所以，SE⊥BE，且E为BC中点
那么，OE=BE=CE=AB/2=2
则由勾股定理有：SE=√(SO^2+0E^2)=2√10
那么，cos∠OSE=SO/SE=6/(2√10)=3/√10
已知点Q为侧面△SBC的重心，所以：SQ/QE=2
所以，SQ=(2/3)*SE=(2/3)*2√10=(4√10)/3
已知点P为SO中点
所以，SP=SO/2=6/2=3
那么，在△SPQ中，由余弦定理有：PQ^2=SP^2+SQ^2-2SP*SQ*cos∠PSQ
=9+(160/9)-2*3*(4√10/3)*(3/√10)
=5/3
所以，PQ=√(5/3)=(√15)/3
（2）异面直线PQ与BS所成角的余弦值
过点Q作SB的平行线，交BC于点F
则，∠PQF即为异面直线PQ与SB所成的角
因为QF//SB
所以，EQ/SE=QF/SB=EF/EB
即，1/3=QF/2√11=EF/2
所以，QF=2√11/3，EF=2/3
而，OE⊥BC
所以，由勾股定理有：OF^2=OE^2+EF^2=4+(4/9)=40/9
而，PO⊥面ABCD
所以，又有PF^2=PO^2+OF^2=9+(40/9)=121/9
那么，在△PQF中由余弦定理有：cos∠PQF=(PQ^2+QF^2-PF^2)/(2PQ*QF)
=[(5/3)+(44/9)-(121/9)]/[2*(√15/3)*(2√11/3)]
=-31/(2√165)
所以，异面直线PQ、SB所成角的余弦值为31/(2√165)
（3）直线PQ与底面ABCD所成角
过点E作PQ的平行线，交SO于点G
因为EG//PQ
所以，EG与面ABCD所成的角即为PQ与底面ABCD所成的角
因为PQ//GE
所以，SP/SG=SQ/SE=2/3
即，3/SG=2/3
所以，SG=9/2
那么，OG=S0-SG=6-(9/2)=3/2
那么，tan∠GEO=OG/OE=(3/2)/2=3/4
所以，∠GEO=arctan(3/4)
即，PQ与底面ABCD所成的角为arctan(3/4)。
收起
