数学

已知函数f(x)=2ax-1/x

已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1], (1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数，求a的取值范围, (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值。 根据楼主昨夜所提的一系列关于函数单调性与最值的问题判断,楼主可能尚未学过导数的内容,故此在下面给出一个完全初等的解法。 但愿楼主能够看懂这一解法。 解 (1)设x1,x2∈(0,1],且x10, 即2a>-(x2+x1)/(x1^2*x2^2)=-(1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2)) 记m=sup{-(1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2))},(sup表示上确界) 由x1,x2的任意性知,只要2a>m...全部

  已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1], (1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数，求a的取值范围, (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值。 根据楼主昨夜所提的一系列关于函数单调性与最值的问题判断,楼主可能尚未学过导数的内容,故此在下面给出一个完全初等的解法。
  但愿楼主能够看懂这一解法。 解 (1)设x1,x2∈(0,1],且x10, 即2a>-(x2+x1)/(x1^2*x2^2)=-(1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2)) 记m=sup{-(1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2))},(sup表示上确界) 由x1,x2的任意性知,只要2a>m即可。
   而由x1,x2∈(0,1]可知 1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2)>1+1=2, 所以 m=-2, 从而 a>-1。 又当a=-1时,可以证明f(x)=-2x-1/(x^2)在(0,1]是增函数。
   因此,a的取值范围是:a>=-1。 (2)(i)由(1)知,当a>=-1时,f(x)在(0,1]是增函数,所以 fmax=f(1)=2a-1。 (ii)当a<-1时,由平均值不等式,得 f(x)=2ax-1/(x^2)=-[(-ax)+(-ax)+1/x^2]<=-3a^(2/3), 上式的取等条件为:x=-1/a^(1/3), 所以,fmax=-3a^(2/3)。
   。收起