已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数

高中函数已知函数 求：（1） 的定义域、值域 （2） 的奇偶性 （3） 的单调性

解： (1)求f(x)的值域。 因为0＜a^x＜+∞,x∈R 所以f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)＞1-2/(0+1)=-1, f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)＜1, 因此,f(x)的值域为(-1,1)。 (2)判断f(x)的奇偶性。 因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且 f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x) =-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x), 所以,f(x)是奇函数。 (3)讨论f(x)的单调性。 (i)当a＞1时 设x1,x2是(0,+∞)内的...全部

  解： (1)求f(x)的值域。 因为0＜a^x＜+∞,x∈R 所以f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)＞1-2/(0+1)=-1, f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)＜1, 因此,f(x)的值域为(-1,1)。
   (2)判断f(x)的奇偶性。 因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且 f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x) =-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x), 所以,f(x)是奇函数。
   (3)讨论f(x)的单调性。 (i)当a＞1时 设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1＜x2,则a^x1＜a^x2,于是 f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2) =[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)] =2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]＞0, 所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减。
   由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减。 因此,当a＞1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减。 (ii)当0＜a＜1时 设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1   由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增。 因此,当0＜a＜1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增。 综上所述,当0＜a＜1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增, 当a＞1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减。
   。收起