已知凸四边形ABCD。
AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2
求证四边形ABCD是平行四边形
可以通过对一般结论的证明讨论特殊情况来对该题进行证明，证明一个对任意四边形的结论再用符合该结论的情况进行讨论，以此得到该题的证明。
任意四边形ABCD中，P,Q分别为AC、BD中点
求证：AC^2+BD^2+4*PQ^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2
证明：设AB、BC、CD、AD的中点分别是E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE、PH、HQ、QF、FP、EG、HF
根据中位线性质得：EF//AC，EF＝AC/2，GH//AC，GH＝AC/2
所以EF//GH且EF＝GH
所以四边形EFGH是平行四边形
同理可得四边形PHQF也是平行四边形
根据“平行四边形对角线的平方和...全部
可以通过对一般结论的证明讨论特殊情况来对该题进行证明，证明一个对任意四边形的结论再用符合该结论的情况进行讨论，以此得到该题的证明。
任意四边形ABCD中，P,Q分别为AC、BD中点
求证：AC^2+BD^2+4*PQ^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2
证明：设AB、BC、CD、AD的中点分别是E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE、PH、HQ、QF、FP、EG、HF
根据中位线性质得：EF//AC，EF＝AC/2，GH//AC，GH＝AC/2
所以EF//GH且EF＝GH
所以四边形EFGH是平行四边形
同理可得四边形PHQF也是平行四边形
根据“平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和”
（证明：构造平行四边形ABCD过A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC
因为四边形ABCD是平行四边形所以AB＝CD，AB//CD
所以∠B＝∠DCF
因为∠AEB＝∠DFC＝90°
所以△ABE≌△DCF
所以AE＝DF，BE＝CF
在△ACE、△BDF和△ABE中根据勾股定理得：
AC^2＝AE^2＋EC^2
＝AB^2－BE^2＋（BC－BE）^2
＝AB^2－CF^2＋BC^2－2BC*BE＋BE^2
BD^2＝BF^2＋DF^2
＝（BC＋CF）^2＋AE^2
＝BC^2＋2BC*CF＋CF^2＋AB^2－BE^2
＝BC^2＋2BC*BE＋CF^2＋AB^2－BE^2
两式相加得：
AC^2＋BD^2＝2AB^2＋2BC^2
即：AC^2＋BD^2＝2(AB^2＋BC^2)
这是平行四边形的一个性质，可总结为：“平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和”)
得：2（PH^2＋PF^2）
＝PQ^2＋HF^2
由于PH＝CD/2，PF＝AB/2
所以AB^2＋CD^2
＝2（PQ^2＋HF^2）
同理可证：
AD^2＋BC^2
＝2（PQ^2＋EG^2）
所以
AB^2＋CD^2＋AD^2＋BC^2
＝2（PQ^2＋HF^2）＋2（PQ^2＋EG^2）
＝4PQ^2＋2（HF^2＋EG^2）
因为HF^2＋EG^2＝2（EF^2＋FG^2）
＝2（AC^2/4＋BD^2/4）
＝（AC^2＋BD^2）/2
所以
4PQ^2＋AC^2＋BD^2＝AB^2＋BC^2＋CD^2＋AD^2
而满足条件AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2
有PQ=0,即P、Q重合，因为P,Q分别为AC、BD中点而对角线中点重合的四边形为平行四边形，所以凸四边形ABCD
AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2
有四边形ABCD是平行四边形得证
。收起
