求角度问题设O为锐角三角形ABC外心,若角C为75度,且三角形AOB,BOC,COA的面积满足S三角形AOB+S三角形BOC=√3S△COA求角A大小
如图,锐角三角形ABC0,O在内部
过O作AB的垂线L,取C关于L的对称点E,连结AE,OE
则S△AOE=S△BOC,
(这样做的目的是把△BOC移过来,这样三个三角形同底AO)
分别作三个三角形在AO上的高,EP,CQ,BR
则有:
EP+BR=√3*CQ
设外接圆半径为R=BO=OC=OE,∠BOC=∠AOE=α,(30°∠AOB=150°==>∠BOR=30°==>∠COQ=α-30°
这样三条高都可以用α和R表示:
EP=Rsinα
BR=Rsin30=R/2
CQ=Rsin(α-30°)
Rsinα+R/2=√3Rsin(α-30°)
sinα+1/2=√3(sinαcos30...全部
如图,锐角三角形ABC0,O在内部
过O作AB的垂线L,取C关于L的对称点E,连结AE,OE
则S△AOE=S△BOC,
(这样做的目的是把△BOC移过来,这样三个三角形同底AO)
分别作三个三角形在AO上的高,EP,CQ,BR
则有:
EP+BR=√3*CQ
设外接圆半径为R=BO=OC=OE,∠BOC=∠AOE=α,(30°∠AOB=150°==>∠BOR=30°==>∠COQ=α-30°
这样三条高都可以用α和R表示:
EP=Rsinα
BR=Rsin30=R/2
CQ=Rsin(α-30°)
Rsinα+R/2=√3Rsin(α-30°)
sinα+1/2=√3(sinαcos30°-cosαsin30)=3/2sinα-√3/2cosα
√3cosα=sinα-1
3[1-(sinα)^2]=(sinα)^2-2sinα+1
2(sinα)^2-sinα-1=0
sinα=1,sinα=-1/2(舍去)
α=90°
∠AOC=360°-150°-90°=120°,∠CAO=30°
∠OAB=15°
∠BAC=30°+15°=45°
。
收起
