周长与面积周长为m的直角三角形的最大面积是_____.
设一个锐角是A，直角边、斜边是a、b、c，
则m=csinA+ccosA+c
--->c=m/(1+cosA+sinA)
三角形的面积
S=ab/2=(1/2)c^2*sinAcosA
=(m^2/2)(sinAcosA)/(1+cosA+sinA)^2
令sinA+cosA=t,则sinAcosA=(t^2-1)/2
并且t=sinA+cosA=√2(sinA*√2/2+cosA*√2/2)
=√2sin(A+pi/4)--->12-11=<1-2/(1+t)=<3-2√2。 当仅当A=45°时最大
所以三角形的面积有最大值（3-2√2)/4*m^2。
。全部
设一个锐角是A，直角边、斜边是a、b、c，
则m=csinA+ccosA+c
--->c=m/(1+cosA+sinA)
三角形的面积
S=ab/2=(1/2)c^2*sinAcosA
=(m^2/2)(sinAcosA)/(1+cosA+sinA)^2
令sinA+cosA=t,则sinAcosA=(t^2-1)/2
并且t=sinA+cosA=√2(sinA*√2/2+cosA*√2/2)
=√2sin(A+pi/4)--->12-11=<1-2/(1+t)=<3-2√2。
当仅当A=45°时最大
所以三角形的面积有最大值（3-2√2)/4*m^2。
。收起
