已知三角形垂涎的垂足,求作出此三角形
已知：不共线的三点D,E,F。
求作：△ABC,使AD⊥BC于D,BE⊥CA于E,CF⊥AB于F。
分析:假设△ABC已作出，易知B,C,D,E四点共圆，∴∠AEF=∠ABC,∠A=∠A,∴△AEF∽△ABC,∴EF/BC=AE/AB=|cosA|。
设BC=a,CA=b,AB=c,EF=d,FD=e,DE=f。由上式和余弦定理得
a*|(b^2+c^2-a^2)/(2bc)|=d,
两边平方，化简得
a^2*(b^2+c^2-a^2)^2=4b^2*c^2*d^2,
同理，b^2*(c^2+a^2-b^2)^2=4c^2*a^2*e^2,
c^2*(a^2+b^2-c^2)^2=4a...全部
已知：不共线的三点D,E,F。
求作：△ABC,使AD⊥BC于D,BE⊥CA于E,CF⊥AB于F。
分析:假设△ABC已作出，易知B,C,D,E四点共圆，∴∠AEF=∠ABC,∠A=∠A,∴△AEF∽△ABC,∴EF/BC=AE/AB=|cosA|。
设BC=a,CA=b,AB=c,EF=d,FD=e,DE=f。由上式和余弦定理得
a*|(b^2+c^2-a^2)/(2bc)|=d,
两边平方，化简得
a^2*(b^2+c^2-a^2)^2=4b^2*c^2*d^2,
同理，b^2*(c^2+a^2-b^2)^2=4c^2*a^2*e^2,
c^2*(a^2+b^2-c^2)^2=4a^2*b^2*f^2。
这是关于a^2,b^2,c^2的三元三次方程组，消去两个未知数后得到一元27次方程。已知高于4次的方程没有公式解法。所以本题是尺规作图不可能问题。收起
