求证如果以三角形内角平分线与对边交点为垂足，所作的三条垂线交于一点，那么该三角形是等腰直角三角形。
证明 为证命题，先给出一个引理;:
在ΔABC中，P是ΔABC形内任一点，PD⊥BC, PE⊥CA, PF⊥AB，分别交BC,CA,AB于D,E,F。则有
AF^2+BD^2+CE^2=AE^2+CD^2+BF^2 (1)
易证(1)式左边=PA^2+PB^2+PC^2-PD^2-PE^2-PF^2=(1)式右边。
设BC=a,CA=b,AB=c。则BD=ca/(b+c),CD=ab/(b+c),CE=ab/(c+a),
AE=bc/(c+a), AF=bc/(a+b),BF=ca/(a+b)。
据(1)式得:
[bc/(a+b)]^2+[ca/(b+c)]^2+[ab...全部
证明 为证命题，先给出一个引理;:
在ΔABC中，P是ΔABC形内任一点，PD⊥BC, PE⊥CA, PF⊥AB，分别交BC,CA,AB于D,E,F。则有
AF^2+BD^2+CE^2=AE^2+CD^2+BF^2 (1)
易证(1)式左边=PA^2+PB^2+PC^2-PD^2-PE^2-PF^2=(1)式右边。
设BC=a,CA=b,AB=c。则BD=ca/(b+c),CD=ab/(b+c),CE=ab/(c+a),
AE=bc/(c+a), AF=bc/(a+b),BF=ca/(a+b)。
据(1)式得:
[bc/(a+b)]^2+[ca/(b+c)]^2+[ab/(c+a)]^2=[bc/(c+a)]^2+[ab/(b+c)]^2+[ca/(a+b)]^2
c^2*(b-a)/(a+b)+a^2*(c-b)/(b+c)+b^2*(a-c)/(c+a)=0
(b-c)*(c-a)*(a-b)*(a+b+c)^2=0。
(2)
由此可见结论成立。
。收起
