三角形问题
在ΔABC中,己知∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,交BC为D。求证:
(1) 以AB,AC,AD线段可构成一个三角形;
(2) 上述三角形三内角之比1:2:4。
楼上正确!!命题有误。
如图
△ABC中∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,交BC为D。过D作AB的平行线交AC于E
因为∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,所以:
∠BAD=∠CAD=60°
又,DE//AB
所以,∠ADE=∠BAD=60°
所以,△ADE为等边三角形
设AD=x,那么:AE=AD=DE=x
因为AD是∠BAC的平分线,所以:
AC/AB=CD/BD=b/c
所以:CD/BC=b/(b+c)
而,CD/BC=DE/AB=x/c
所以,b/(b+c)=x/c
所以:x=bc/(b+c)
假设它们能够构成如图所示的△A'B'C',其中:A'B'=AB=c,A...全部
楼上正确!!命题有误。
如图
△ABC中∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,交BC为D。过D作AB的平行线交AC于E
因为∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线,所以:
∠BAD=∠CAD=60°
又,DE//AB
所以,∠ADE=∠BAD=60°
所以,△ADE为等边三角形
设AD=x,那么:AE=AD=DE=x
因为AD是∠BAC的平分线,所以:
AC/AB=CD/BD=b/c
所以:CD/BC=b/(b+c)
而,CD/BC=DE/AB=x/c
所以,b/(b+c)=x/c
所以:x=bc/(b+c)
假设它们能够构成如图所示的△A'B'C',其中:A'B'=AB=c,A'C'=AC=b,B'C'=AD=x=bc/(b+c)
那么,根据三角形两边之和大于第三边,有:
c+x>b
===> c+bc/(b+c)>b
===> bc>b^2-c^2
===> c^2+bc-b^2>0…………………………………………(1)
而在△ABC中,根据余弦定理有:
a^2=b^2+c^2-2bccos∠BAC=b^2+c^2+bc
所以:c^2+bc=a^2-b^2………………………………………(2)
(2)代入(1)中就有:
a^2-2b^2>0
===> a>√2b
也就是说,只有当满足a>√2b时,它们才能构成一个三角形。
但是,在△ABC中(上图中),保持AB、AC方向不变(则它们之间的夹角∠BAC=120°不变),AC长度不变(=b),直线BC以C为圆心旋转,那么当∠BCA接近于0的时候,AB接近于0,BC就无限接近于AC,此时:a→b,那么就无法满足a>√2b的条件,所以它们无法构成三角形。
故,原命题错误!!!。收起