求最大值三角形ABC周长为20,D是BC上一点,三角形ABD与三角形ACD周长都等于16.
求三角形ABC面积的最大值.
与另一题相同
由题意知,BA+BD=CA+CD=10,AD=6,所以B,C在以A,D为焦点的椭圆上。
不妨以直线AD为y轴,线段AD的中垂线为x轴建立如图所示的直角坐标系。c=3,a=5,所以b=4,椭圆方程x^2/16+y^2/25=1,
25x^2+16y^2-400=0(*)
设BC方程y=kx+3,由对称性,设k>0,代入(*),
(16k^2+25)x^2+96kx-256=0,两根x1,x2异号,不妨记x2>0>x1
x1+x2=96k/(16k^2+25),x1x2=-256/(16k^2+25)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=96^2k^2/(16k...全部
与另一题相同
由题意知,BA+BD=CA+CD=10,AD=6,所以B,C在以A,D为焦点的椭圆上。
不妨以直线AD为y轴,线段AD的中垂线为x轴建立如图所示的直角坐标系。c=3,a=5,所以b=4,椭圆方程x^2/16+y^2/25=1,
25x^2+16y^2-400=0(*)
设BC方程y=kx+3,由对称性,设k>0,代入(*),
(16k^2+25)x^2+96kx-256=0,两根x1,x2异号,不妨记x2>0>x1
x1+x2=96k/(16k^2+25),x1x2=-256/(16k^2+25)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=96^2k^2/(16k^2+25)^2+4*256/(16k^2+25)
=32^2*[9k^2+16k^2+25]/(16k^2+25)^2
=160^2*(k^2+1)/(16k^2+25)^2(**)
当且仅当k=0时,(k^2+1)/(16k^2+25)^2取得最大值1/625(证明附后),
即(x1-x2)^2取得最大值160^2/625,|x1-x2|取大值160/25=32/5
△ABD与△ACD同底AD=6,它们的高是-x1和x2,
面积和=(1/2)AD[x2+(-x1)]=3*(x2-x1)≤96/5
即△ABC面积的最大值96/5。
附:设f(k)=(16k^2+25)^2/(k^2+1),设u=k^2+1≥1
g(u)=(16u+9)^2/u=256u+288+81/u
g'(u)=256-81/u^2>0(u≥1),所以g(u)是增函数
当且仅当u=1时,g(u)有最小值,
即k=0时,f(k)有最小值
(k^2+1)/(16k^2+25)^2取得最大值。
。收起
