已知函数fx =2ax-1/x得平方，若fx的单调增区间是（0，1），求a值
已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1], (1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数，求a的取值范围, (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值。根据楼主昨夜所提的一系列关于函数单调性与最值的问题判断,楼主可能尚未学过导数的内容,故此在下面给出一个完全初等的解法。 但愿楼主能够看懂这一解法。解 (1)设x1,x2∈(0,1],且x10,即2a>-(x2 x1)/(x1^2*x2^2)=-(1/(x1*x2^2) 1/(x1^2*x2))记m=sup{-(1/(x1*x2^2) 1/(x1^2*x2))},(sup表示上确界)由x1,x2的任意性知,只要2a>m即可。 ...全部
已知函数f(x)=2ax-1/(x^2),x∈(0,1], (1)若f(x)在x∈(0,1]是增函数，求a的取值范围, (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值。根据楼主昨夜所提的一系列关于函数单调性与最值的问题判断,楼主可能尚未学过导数的内容,故此在下面给出一个完全初等的解法。
但愿楼主能够看懂这一解法。解 (1)设x1,x2∈(0,1],且x10,即2a>-(x2 x1)/(x1^2*x2^2)=-(1/(x1*x2^2) 1/(x1^2*x2))记m=sup{-(1/(x1*x2^2) 1/(x1^2*x2))},(sup表示上确界)由x1,x2的任意性知,只要2a>m即可。
而由x1,x2∈(0,1]可知1/(x1*x2^2) 1/(x1^2*x2)>1 1=2,所以 m=-2,从而 a>-1。又当a=-1时,可以证明f(x)=-2x-1/(x^2)在(0,1]是增函数。
因此,a的取值范围是:a>=-1。(2)(i)由(1)知,当a>=-1时,f(x)在(0,1]是增函数,所以fmax=f(1)=2a-1。(ii)当af(x)=2ax-1/(x^2)=-[(-ax) (-ax) 1/x^2]上式的取等条件为:x=-1/a^(1/3),所以,fmax=-3a^(2/3)。
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