（高数）一个极限问题这类题我总是
1、同意上面的回答，但有几个地方需更正一下：
第一个式子中倒数第二个等式应是lim(x->1)[m(x-1)/n(x-1)],这里是把(x-1)看成公式中的x，虽然结果一样；
第二个式子中应是x->a,而非x->1,否则算不出上面结果。
总之，使用等价无穷小量代换是一个好的方法，但一般需要一定的技巧。
2、另一个较易掌握且较普遍的办法是利用洛必达法则，特别对于0/0型或无穷／无穷型的问题。一般情况下，这个方法可以求解大量的函数极限。 上述两个问题都是0/0型的（即分子分母当x->1或x->a时都趋向于0），可用洛必达法则解决如下：
(1)lim(x->1)[(x^m-1)/(x^n-...全部
1、同意上面的回答，但有几个地方需更正一下：
第一个式子中倒数第二个等式应是lim(x->1)[m(x-1)/n(x-1)],这里是把(x-1)看成公式中的x，虽然结果一样；
第二个式子中应是x->a,而非x->1,否则算不出上面结果。
总之，使用等价无穷小量代换是一个好的方法，但一般需要一定的技巧。
2、另一个较易掌握且较普遍的办法是利用洛必达法则，特别对于0/0型或无穷／无穷型的问题。一般情况下，这个方法可以求解大量的函数极限。
上述两个问题都是0/0型的（即分子分母当x->1或x->a时都趋向于0），可用洛必达法则解决如下：
(1)lim(x->1)[(x^m-1)/(x^n-1)]
＝lim(x->1)[m*x^(m-1)/n*x^(n-1)] (分子分母各自对x求导数)
＝m*1^(m-1)/n*1^(n-1)
＝m/n
(2)lim(x->a)[(x^m-a^m)/(x^n-a^n)]
＝lim(x->a)[m*x^(m-1)/n*x^(n-1)]
＝m*a^(m-1)/n*a^(n-1)
＝m/n*a^(m-n)
3、还有一个办法是利用恒等变形（例如因式分解）化简，消去零因子。
解答如下：
利用公式：x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+。。。+x^2+x+1],得：
(1)lim(x->1)[(x^m-1)/(x^n-1)]
＝lim(x->1){[(x-1)[x^(m-1)+。
。。+x+1]/(x-1)[x^(n-1)+。。。+x+1]}
＝lim(x->1)[x^(m-1)+。。。+x+1]/[x^(n-1)+。。。+x+1](分子分母约去零因子(x-1))
＝m/n （分子分母各有m和n个1相加）
(2)lim(x->a)[(x^m-a^m)/(x^n-a^n)]
＝lim(x->a)｛(a^m)[(x/a)^m-1]/(a^n)[(x/a)^n-1]｝
＝a^(m-n)lim(x->a){[(x/a)^m-1]/[(x/a)^n-1]}
＝a^(m-n)lim(x->a){[(x/a)-1][(x/a)^(m-1)+。
。。+1]/[(x/a)-1]*
*[(x/a)^(n-1)+。。。+1]}
＝a^(m-n)lim(x->a)｛[(x/a)^(m-1)+。。。+1]／[(x/a)^(n-1)+。
。。+1]｝
＝a^(m-n)*(m/n)
。收起
