怎样在实数范围内分解因式
定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。 因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础；学好它,既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法为相反变形。编辑本段方法 因式分解没有普遍的方法,初中...全部
定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础；学好它,既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法为相反变形。编辑本段方法 因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
实际上经典例题： 1。分解因式(1 y)-2x(1 y) x(1-y) 原式=(1 y) 2(1 y)x(1-y) x(1-y)-2(1 y)x(1-y)-2x(1 y) =[(1 y) x(1-y)]-2(1 y)x(1-y)-2x(1 y) =[(1 y) x(1-y)]-(2x) =[(1 y) x(1-y) 2x]·[(1 y) x(1-y)-2x] =(x-xy 2x y 1)(x-xy-2x y 1) =[(x 1)-y(x-1)][(x-1)-y(x-1)] =(x 1)(x 1-xy y)(x-1)(x-1-xy-y) 2。
证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33 x^5 3x^4y-5x^3y^2 4xy^4 12y^5 原式=(x^5 3x^4y)-(5x^3y^2 15x^2y^3) (4xy^4 12y^5) =x^4(x 3y)-5x^2y^2(x 3y) 4y^4(x 3y) =(x 3y)(x^4-5x^2y^2 4y^4) =(x 3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x 3y)(x y)(x-y)(x 2y)(x-2y) 就是把简单的问题复杂化） 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2 x=x(-3x 1）） 归纳方法：北师大版七下课本上有的 1、提公因式法。
2、公式法。 3、分组分解法。 4、凑数法。[x^2 (a b)x ab=(x a)(x b)] 5、组合分解法。 6、十字相乘法。 7、双十字相乘法。 8、配方法。
9、拆项法。 10、换元法。 11、长除法。 12、加减项法。 13、求根法。 14、图象法。 15、主元法。 16、待定系数法。 17、特殊值法。 18、因式定理法。
编辑本段基本方法提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时,公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数,分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数） 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时,多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶。 例如：-am bm cm=-(a-b-c)m； a(x-y) b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。
注意：把2a 1/2变成2(a 1/4)不叫提公因式公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式: (a b)(a-b)=a^2-b^2 反过来为a^2-b^2=(a b)(a-b) 完全平方公式：(a b)^2=a^2 2ab b^2 反过来为a^2 2ab b^2=(a b)^2 (a-b)^2=a^2-2ab b^2 a^2-2ab b^2=(a-b)^2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
两根式：ax^2 bx c=a(x-(-b √(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a) 立方和公式：a^3 b^3=(a b)(a^2-ab b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2 ab b^2)； 完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3． 公式：a^3 b^3 c^3-3abc=(a b c)(a^2 b^2 c^2-ab-bc-ca) 例如：a^2 4ab 4b^2 =(a 2b)^2。
分解因式技巧 1。分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2。分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。 3。提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
编辑本段竞赛用到的方法分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法。 比如： ax ay bx by =a(x y) b(x y) =(a b)(x y) 我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。
同样,这道题也可以这样做。 ax ay bx by =x(a b) y(a b) =(a b)(x y) 几道例题： 1。 5ax 5bx 3ay 3by 解法：=5x(a b) 3y(a b) =(5x 3y)(a b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。
2。 x^3-x^2 x-1 解法：=(x^3-x^2) (x-1) =x^2(x-1) (x-1) =(x-1)(x^3 1) 利用二二分法,提公因式法提出 x2,然后相合轻松解决。
3。 x^2-x-y^2-y 解法：=(x^2-y^2)-(x y) =(x y)(x-y)-(x y) =(x y)(x-y-1) 利用二二分法,再利用公式法a^2-b^2=(a b)(a-b),然后相合解决。
十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2 (p q)x pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2 (p q)x pq=(x p)(x q) ． ②kx^2 mx n型的式子的因式分解 如果有k=ac,n=bd,且有ad bc=m时,那么kx^2 mx n=(ax b)(cx d)． 图示如下： a╲╱c b╱╲d 例如：因为 1 ╲╱2 -3╱╲ 7 -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 所以7x2-19x-6=(7x 2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b c) ca(c-a)-ab(a b) =bc(c-a a b) ca(c-a)-ab(a b) =bc(c-a) bc(a b) ca(c-a)-ab(a b) =bc(c-a) ca(c-a) bc(a b)-ab(a b) =(bc ca)(c-a) (bc-ab)(a b) =c(c-a)(b a) b(a b)(c-a) =(c b)(c-a)(a b)．配方法 对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：x^2 3x-40 =x^2 3x 2。25-42。25 =(x 1。5)^2-(6。5)^2 =(x 8)(x-5)．应用因式定理 对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x2 5x 6,f(-2)=0,则可确定x 2是x2 5x 6的一个因式。
(事实上,x2 5x 6=(x 2)(x 3)．) 注意：1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数； 2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。
相关公式注意:换元后勿忘还元。 例如在分解(x2 x 1)(x2 x 2)-12时,可以令y=x^2 x,则 原式=(y 1)(y 2)-12 =y^2 3y 2-12=y^2 3y-10 =(y 5)(y-2) =(x^2 x 5)(x2 x-2) =(x^2 x 5)(x 2)(x-1)． 也可以参看右图。
求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4 7x^3-2x^2-13x 6时,令2x^4 7x^3-2x^2-13x 6=0, 则通过综合除法可知,该方程的根为0。
5 ,-3,-2,1． 所以2x^4 7x^3-2x^2-13x 6=(2x-1)(x 3)(x 2)(x-1)．图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。
例如在分解x^3 2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; 2x^2 -5x-6。 作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 则x^3 2x^2-5x-6=(x 1)(x 3)(x-2)．主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
特殊值法 将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例如在分解x^3 9x^2 23x 15时,令x=2,则 x^3 9x^2 23x 15=8 36 46 15=105, 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ． 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x 1,x 3,x 5,在x=2时的值, 则x^3 9x^2 23x 15可能等于(x 1)(x 3)(x 5),验证后的确如此。
待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2 ax b)(x^2 cx d) 相关公式=x^4 (a c)x^3 (ac b d)x^2 (ad bc)x bd 由此可得a c=-1, ac b d=-5, ad bc=-6, bd=-4． 解得a=1,b=1,c=-2,d=-4． 则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2 x 1)(x^2-2x-4)． 也可以参看右图。
双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下: ax^2 bxy cy^2 dx ey f x、y为未知数,其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x^2 5xy 6y^2 8x 18y 12． 分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 图如下,把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x 2y 2)(x 3y 6)． 双十字相乘法其步骤为： ①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2 5xy 6y^2=(x 2y)(x 3y)； ②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。
如十字相乘图②中6y² 18y 12=(2y 2)(3y 6)； ③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。 利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解 例：对于二次多项式 aX^2 bX c(a≠0) aX^2 bX c=a[X^2 (b/a)X (c/a)X]。
当△=b^2-4ac≥0时, =a(X^2-X1-X2 X1X2) =a(X-X1)(X-X2)。编辑本段多项式因式分解的一般步骤 ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。” 几道例题 1．分解因式(1 y)^2-2x^2(1 y^2) x^4(1-y)^2． 原式=(1 y)^2 2(1 y)x^2(1-y) x^4(1-y)^2-2(1 y)x^2(1-y)-2x^2(1 y^2)（补项） =[(1 y) x^2(1-y)]^2-2(1 y)x^2(1-y)-2x^2(1 y^2)（完全平方） =[(1 y) x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1 y) x^2(1-y) 2x][(1 y) x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y 2x y 1)(x^2-x^2y-2x y 1) =[(x 1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x 1)(x 1-xy y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求证：对于任何实数x,y,下式的值都不会为33： x^5 3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3 4xy^4 12y^5． 原式=(x^5 3x^4y)-(5x^3y^2 15x^2y^3) (4xy^4 12y^5) =x^4(x 3y)-5x^2y^2(x 3y) 4y^4(x 3y) =(x 3y)(x^4-5x^2y^2 4y^4) =(x 3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x 3y)(x y)(x-y)(x 2y)(x-2y)． （分解因式的过程也可以参看右图。
） 当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x 3y,x y,x-y,x 2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。 3。．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2 a^2 2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c^2 a^2 2ab-2bc=0, ∴(a c)(a-c) 2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a 2b c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三条边, ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0, 即a＝c,△ABC为等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n 18x^(n 2)y^(n 1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 -12x^2n×y^n 18x^(n 2)y^(n 1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2 1)．编辑本段四个注意 因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下：首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。
现举下例 可供参考 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 －a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”,指“负号”。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误 例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。
－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式；这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
考试时应注意： 在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到整数! 由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。
编辑本段应用 1、 应用于多项式除法。 2、 应用于高次方程的求根。 3、 应用于分式的通分与约分 顺带一提,梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展： 1,p=4r 3,如果8r 7也是素数,则：(8r 7)|(2^P-1)。
即（2p 1）|（2^P-1）； 。例如： 23|(2^11-1);；11=4×2 3； 47|(2^23-1);；23=4×5 3； 167|(2^83-1);,。83=4×20 3； 。
2,p=2^n×3^2 1,则（6p 1）|(2^P-1), 例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3 1； 439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3 1； 3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3 1； ,。
3,p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p 1）|（2^P-1）； 。例如;233|(2^29-1)；29=2×3×5-1； ;1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1； 1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1； ,。
还有一些梅森数分解取得进展,不再一一叙述。收起
