先做第1题,请看下面(点击放大):
y^2=4x的焦点为(1,0),
∴CD:x=1,
代入上式得y=土2,
∴|CD|=4。
a^2=b^2+1,
把x=1代入x^2/(b^2+1)+y^2/b^2=1,得
y=土b^2/√(b^2+1),
∴|ST|=2b^2/√(b^2+1)=√2,解得b^2=1,
∴椭圆E的方程为x^2/2+y^2=1。
(1)
(II)MA:x=my+2,(2)
代入(1),得
(m^2+2)y^2+4my+2=0,(3)
△=16m^2-8(m^2+2)=8m^2-16,
|向量PA-PB|=|BA|={√[(8m^2-16)(1+m^2)]}/(m^2+2)<2(√5)/3,
平方,化简得13m^4-38m^2-56<0,m^2<4。
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由(3),
y1+y2=-4m/(m^2+2),
由(2),x1+x2=m(y1+y2)+4=8/(m^2+2),
由向量OA+OB=tOP,得
x=(x1+x2)/t=8/[t(m^2+2)],
y=(y1+y2)/t=-4m/[t(m^2+2)],
代入(1),(32+16m^2)/[t(m^2+2)]^2=1,
∴t^2=16/(m^2+2)∈(8/3,8],
∴t的取值范围是(2(√6)/3,2√2]∪[-2√2,-2(√6)/3)。
。
(1)抛物线焦点(1,0),|CD|=4,则√(a²-b²)=1,将x=1代入椭圆中,|ST|=√2=2(b²/a),即a²=1,b=1,所以椭圆方程是x²/2+y²=1
(2)|向量PA-向量PB|=|向量AB|<(2√5)/3
设过M的直线是y=k(x-2),代入椭圆中:(k²+1/2)x²-4k²x+4k²-1=0
|AB|=√△√(1+k²)/(k²+1/2)<(2√5)/3,得:1/4<k²≤1/2
设P(x3,y3),则x3=t(x1+x2)=4k²t/(k²+1/2),y3=t(y1+y2)=-2kt/(k²+1/2),代入椭圆中,得:t²=(k²+1/2)²/(4k²+4k^4)∈[3/4,4/5)
所求t的范围是(-2√5/5,√3/2]∪[√3/2,2√5/5)。
。
The coordinates of F2 are (1, 0)。
Then a^2 - b^2 = 1^2 = 1。
The coordinates of C are (1, 2)。
This implies the length of CD = 4。 So the length of ST = 2^{1/2}。 Thus, the coordinates of S are (1, 2^{1/2} / 2)。
So, we have,
1/ a^2 + 1/ (2 b^2) = 1。
We solve a^2, b^2:
a^2 = 2,
b^2 = 1。 So the equation of the ellipse is
x^2 / 2 + y^2 = 1。