设a>0,函数f(x)=(ax b)/(x^2 1)，b为常数。(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值
解： （1）证明如下： 对f(x)=(ax b)/(x^2 1)求导， f'(x)=[a*(x^2 1)-(ax b)*2x]/(x^2 1) =-a(x^2 2b/a*x-1)/(x^2 1)^2， ① 因为a>0，f'(x)的符号仅由x^2 2b/a*x-1的符号决定（与之相反）。 令f'(x)=0得：-a(x^2 2b/a*x-1)/(x^2 1)^2=0， 即，a(x^2 2b/a*x-1)=0， x^2 2b/a*x-1=0， ② 该二次方程的判别式Δ=4(b/a)^2 4>0（恒为正），故必有两个实...全部
解： （1）证明如下： 对f(x)=(ax b)/(x^2 1)求导， f'(x)=[a*(x^2 1)-(ax b)*2x]/(x^2 1) =-a(x^2 2b/a*x-1)/(x^2 1)^2， ① 因为a>0，f'(x)的符号仅由x^2 2b/a*x-1的符号决定（与之相反）。
令f'(x)=0得：-a(x^2 2b/a*x-1)/(x^2 1)^2=0， 即，a(x^2 2b/a*x-1)=0， x^2 2b/a*x-1=0， ② 该二次方程的判别式Δ=4(b/a)^2 4>0（恒为正），故必有两个实根。
即二次函数x^2 2b/a*x-1必有两个零点，且在两个零点附近，该二次函数变号，且由二次函数的图像易知，两个零点附近符号变化相反（一个零点附件符号由正变负，另外一个零点附近符号符号由负变正）。
故f'(x)有且仅有两个零点，两个零点附近符号变化相反，则f(x)在两个驻点处一个取极大值，一个取极小值。 （2）设方程②的解为：x1, x2, 且x10，故b^2 a^2≠0，则4-a^2=0，a=2（a>0） 把a=2代入⑦得：b[16 8-2*b^2]=0， ⑦ 所以b=0或±2√3。
由于方程⑤⑥并非方程③④的充要条件，故还需代入验证。
当a=2，b=0时，由③④，x1=-1，x2=1，f(x1)=-1，f(x2)=1，符合要求； 当a=2，b=2√3时，由③④，x1=(√3 1)^2/2，x2=-(√3-1)^2/2，与假设x1 当a=2，b=-2√3时，由③④，x1=(√3-1)^2/2，x2=-(√3 1)^2/2，与假设x1 综上a=2，b=0即为所求。收起
