数学题若关于x的方程４次方＋a*（２的x次方)+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围
显然你打漏了“的x”！——原题应该是：
若关于x的方程 4的x次方 + a*(2的x次方) + a+1 = 0有实数解，求实数a的取值范围
因为 2^x > 0 ，4^x = (2^x)^2
设 2^x = y 则 y > 0 ，且 4^x = y^2
原问题变为关于 y 的方程 y^2 + ay + a+1 = 0 有正根，求a的范围
法一：分离变量得 -a = (y^2 + 1)/(y+1) = [(y+1)^2 - 2(y+1) + 2]/(y+1) = (y+1) + 2/(y+1) - 2 ≥ 2√2 - 2
当且仅当 y+1 = 2/(y+1) 即 y = (√2) - 1 ...全部
显然你打漏了“的x”！——原题应该是：
若关于x的方程 4的x次方 + a*(2的x次方) + a+1 = 0有实数解，求实数a的取值范围
因为 2^x > 0 ，4^x = (2^x)^2
设 2^x = y 则 y > 0 ，且 4^x = y^2
原问题变为关于 y 的方程 y^2 + ay + a+1 = 0 有正根，求a的范围
法一：分离变量得 -a = (y^2 + 1)/(y+1) = [(y+1)^2 - 2(y+1) + 2]/(y+1) = (y+1) + 2/(y+1) - 2 ≥ 2√2 - 2
当且仅当 y+1 = 2/(y+1) 即 y = (√2) - 1 时取等号
所以 a ≤ 2 - 2√2
所以 a 的取值范围是 ( -∞ ， 2-2√2 ]。
法二：方程 y^2 + ay + a+1 = 0 有正根
首先方程有实数根，△ = a^2 - 4(a+1) ≥ 0 ，即 a^2 - 4a - 4 ≥ 0
解得 a ≤ 2 - 2√2 或 a ≥ 2 + 2√2
当 a ≤ 2 - 2√2 时，两根之和 -a 为正，所以必有正根，符合要求；
当 a ≥ 2 + 2√2 时，两根之和 -a 为负，两根之积 a+1 为正，故两根均为负，不合要求。
所以 a 的取值范围是 ( -∞ ， 2-2√2 ]。
。收起
