求实数a的值

y=(a+3sinx+cosx)/(1+sinx+2cosx)的值域是：(-∞,-1]∪[3/2,+∞).求实数a的值.

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2010-12-15

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解：首先, y的值域为(-∞,-1]∪[3/2,+∞), 故(y+1)(y-3/2)≥0 →4y^2-2y-6≥0 ……(1) 其次, y=(a+3sin+cosx)/(1+sinx+2cosx) →(y-3)sinx+(2y-1)cosx=a-y 构造向量m=(y-3,2y-1),n=(sinx,cosx),则 |m||n|≥|mn|^2 →[(y-3)^2+(2y-1)^2][(sinx)^2+(cosx)^2]≥[(y-3)sinx+(2y-1)cosx]^2=(a-y)^2 →4y^2+(2a-10)y+(10-a^2)≥0 ……(2) 显然,(1)与(2)为同解不等式,将其比较系数得 {2a-10=-2 {10-a^2=-6 解得,a=4。
。

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l***

2010-12-15

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由y=(a+3sinx+cosx)/(1+sinx+2cosx)得 a+3sinx+cosx=y+ysinx+2ycosx, ∴（3-y)sinx+(1-2y)cosx=y-a, 设m=√[(3-y)^2+(1-2y)^2]=√(10-10y+5y^2),则 msin(x+t)=y-a, sin(x+t)=(y-a)/m, ∴|(y-a)/m|=0, 这个关于y的不等式的解集是(-∞,-1]∪[3/2,+∞)。
由韦达定理，（10-2a)/4=3/2-1,且(10-a^2)/4=-3/2, ∴a=4。

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