设直线y=2x+b与抛物线y平方等于4x交于A,B两点,已知弦/AB/=3倍根号5,P是抛物线上一点
解答见图片:
把Y=2X+b代入抛物线方程:(2X+b)²=4X
===>4X²-(4-b)X+b²=0
X1+X2=1-b;X1*X2=b²/4
∴(X1-X2)²=(X1+X2)²-4X1*X2=(1-b)²-b²=1-2b
∴(Y1-Y2)²=[2(X1-X2)]²=4(X1-X2)²=4(1-2b)=4-8b
∴(X1-X2)²+(Y1-Y2)²=(3√5)²===>5-10b=45===>b=-4
设点P(X²,±2X)是符合△PAB面积为30的点,则有:
P到直线AB的距离d=30×2÷(3√5)=4√5
∴根据点到直线的距离公式可得:|2X²-2X-4|÷√(2²+1²)=4√5
∴|2X²±2X-4|=20
∴|X²±X-2|=10
∴X²±X-2=±10
∵X²+X+8=0和X²-X+8=0(⊿<0,都不合题意,舍去)
∴X²+X-12=0===>X=-4,X=3
∴点P(16,8),或P(9,-6)
。
。
把y=2x+b代入y^2=4x,化简得
4x^2+4(b-1)x+b^2=0,
△=16(1-2b),
弦|AB|=(√△)/4*√5=3√5,1-2b=9,b=-4。
设抛物线上一点P为(t^2,2t),P到AB:2x-y-4=0的距离
h=|2t^2-2t-4|/√5,
三角形PAB面积=(1/2)|AB|h=30,
∴|t^2-t-2|=10,
∴t^2-t-12=0,或t^2-t+8=0(无实根),
∴t=-3,或t=4,
∴P的坐标是(9,-6),或(16,8)。