凸函数单侧导数的莱布尼兹公式题目
定理:f为(a,b)的凸函数,则其左右导数f'{-},f'{+}
存在,且
1。f'{-},f'{+}递减。
2。f'{-}(c)≥f'{+}(c)
3。c,d∈(a,b),则
f'{+}(c)≥[f(d)-f(c)]/[d-c]≥f'{-}(d)
1。
由于f'{-},f'{+}递减。
只需研究
In=(d-c)/n∑{0≤k≤n-1}f'{+}(c+k(d-c)/n)和
Jn=(d-c)/n∑{0≤k≤n-1}f'{-}(c+k(d-c)/n)的极限。
2。In≤Jn。(定理的2。)
3。由定理的3。得
In≥[(d-c)/n]*
∑{0≤k≤n-1}[f(c+(k+1)(d-...全部
定理:f为(a,b)的凸函数,则其左右导数f'{-},f'{+}
存在,且
1。f'{-},f'{+}递减。
2。f'{-}(c)≥f'{+}(c)
3。c,d∈(a,b),则
f'{+}(c)≥[f(d)-f(c)]/[d-c]≥f'{-}(d)
1。
由于f'{-},f'{+}递减。
只需研究
In=(d-c)/n∑{0≤k≤n-1}f'{+}(c+k(d-c)/n)和
Jn=(d-c)/n∑{0≤k≤n-1}f'{-}(c+k(d-c)/n)的极限。
2。In≤Jn。(定理的2。)
3。由定理的3。得
In≥[(d-c)/n]*
∑{0≤k≤n-1}[f(c+(k+1)(d-c)/n)-f(c+k(d-c)/n)]/[(d-c)/n]=
=f(d)-f(c)
4。
由定理的3。得
Jn≤[(d-c)/n]f'{-}(c)+[(d-c)/n]*
∑{1≤k≤n-1}[f(c+k(d-c)/n)-f(c+(k-1)(d-c)/n)]/[(d-c)/n]=
=[(d-c)/n]f'{-}(c)+f(d-(d-c)/n)-f(c)
5。
由f的连续性得,
Lim{n→∞}{[(d-c)/n]f'{-}(c)+f(d-(d-c)/n)-f(c)}=
=f(d)-f(c)
所以
Lim{n→∞}In=Lim{n→∞}Jn=f(d)-f(c)
==>f'{-},f'{+}黎曼可积,且
∫{c→d}f'{-}(x)dx=∫{c→d}f'{+}(x)dx=f(d)-f(c)。
收起
