若椭圆aX2+bY2=1与直线X+Y=1交与点A

数学问题:AB是椭圆x^2/a^2+y^

1,AB是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)中不平行于对称轴且不过原点O的一条弦,M是AB的中点, 求证:Kab。Kom=-b^2/a^2 不平行于对称轴的直线斜率存在且不等于0，又直线不过原点 所以，设直线为：y=kx+c 联立椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0和直线y=kx+c得到： b^2x^2+a^2(kx+c)^2-a^2b^2=0 ===> b^2x^2+k^2a^2x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0 ===> (b^2+k^2a^2)x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0 所以：x1+x2=-2a^2kc/(b^...全部

  1,AB是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)中不平行于对称轴且不过原点O的一条弦,M是AB的中点, 求证:Kab。Kom=-b^2/a^2 不平行于对称轴的直线斜率存在且不等于0，又直线不过原点 所以，设直线为：y=kx+c 联立椭圆b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0和直线y=kx+c得到： b^2x^2+a^2(kx+c)^2-a^2b^2=0 ===> b^2x^2+k^2a^2x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0 ===> (b^2+k^2a^2)x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0 所以：x1+x2=-2a^2kc/(b^2+k^2a^2) 所以，M点的横坐标为：Mx=(x1+x2)/2=-a^2kc/(b^2+k^2a^2) 又： y1=kx1+c y2=kx2+c 所以：y1+y2=k(x1+x2)+2c=[-2a^2k^2c/(b^2+k^2a^2)]+2c =[-2a^2k^2c+2b^2c+2k^2a^2c]/(b^2+k^2a^2) =2b^2c/(b^2+k^2a^2) 所以，点M的纵坐标My=(y1+y2)/2=b^2c/(b^2+k^2a^2) 所以： Kom=(My-0)/(Mx-0)=My/Mx=[b^2c/(b^2+k^2a^2)]/[-a^2kc/(b^2+k^2a^2)] =-b^2/(a^2k) 所以： Kab*Kom=k*[-b^2/(a^2k)]=-b^2/a^2 2,椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2√2, O为坐标原点,OC斜率为√2/2,求a,b的值 联立椭圆ax^2+by^2-1=0与直线y=1-x得到： ax^2+b(1-x)^2-1=0 ===> ax^2+bx^2-2bx+b-1=0 ===> (a+b)x^2-2bx+(b-1)=0 所以：x1+x2=2b/(a+b)、x1x2=(b-1)/(a+b)………………（1） 且： y1=1-x1 y2=1-x2 所以：y1+y2=1-x1+1-x2=2-(x1+x2)=2-[2b/(a+b)]=2a/(a+b) y1-y2=(1-x1)-(1-x2)=(x2-x1) 而，|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2(x1-x2)^2 =2[(x1+x2)^2-4x1x2] =2*{[2b/(a+b)]^2-4(b-1)/(a+b)} =2*{[4b^2/(a+b)^2]-[4(b-1)(a+b)/(a+b)^2]} =2*[4b^2-4ab-4b^2+4a+4b]/(a+b)^2 =8*(a+b-ab)/(a+b)^2 =(2√2)*2=8 所以：(a+b-ab)/(a+b)^2=1……………………………………（2） 又，C点坐标为：C(b/(a+b),a/(a+b)) 所以，Koc=[a/(a+b)-0]/[b/(a+b)-0] =a/b=√2/2………………………………………………………（3） 联立(2)(3)得到： a=1/3 b=√2/3 3,若抛物线y=ax^2-1上总有关于l:x+y=1对称的相异两点,求a的取值范围 既然有两点关于直线l：x+y=1对称，那么这两点的连线与直线l垂直。
  设该两点为A(x1,y1)、B(x2,y2) 所以，Kab=1 设AB所在直线方程为：y=x+b 联立直线y=x+b与抛物线方程y=ax^2-1得到： x+b=ax^2-1 ===> ax^2-x-b-1=0 ===> ax^2-x-(b+1)=0…………………………………………（1） 则：x1+x2=1/a 所以，AB中点C的横坐标Xc=(x1+x2)/2=1/2a 又： y1=x1+b y2=x2+b 所以：y1+y2=(x1+x2)+2b 所以，AB中点C的纵坐标Yc=(y1+y2)/2=(x1+x2)/2+b=(1/2a)+b 而，点C在直线l:x+y=1上 所以：(1/2a)+(1/2a)+b=1 则，b=1-(1/a)=(a-1)/a……………………………………（2） 因为直线y=x+b与抛物线y=ax^2-1有相异的两个交点 所以，方程(1)有相异的两个实数根 即：△=1+4a(b+1)＞0 ===> 1+4a[(a-1)/a+1]＞0 ===> 1+4(a-1)+4a＞0 ===> 1+4a-4+4a＞0 ===> 8a＞3 ===> a＞3/8。
  收起