数学问题:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则

    (1) 如下图①所示 设CD1∩C1D=O1,则AO1⊥CD1, ∵AD⊥面CC1D1D,由三垂线逆定理,AO1⊥CD1, AO1=√[AD^2+(DO1)^2]=√6/2为所求距离。
   (2) ∵ AB面BD1, ∴ AB⊥AD1。在Rt△BAD1中, AH=AB×AD1/BD1=√2/√3=√6/3为所求距离。   (3) ∵ AO2⊥面BD1, AO2=√2/2为所求距离。
   (4) 设A到平面A1BD距离为h,由三棱锥A-A1BD的体积=三棱锥A1-ABD的体积,即(√3/4)×(√2)^2×h=(1/2)×1,得h=√3/3。 (5) ∵ AA1∥面BB1DD1, ∴ AA1与平面BB1DD1到距离=点A到平面BB1DD1距离=√2/2[见(3)问] (6) 如下图②所示,在C-XYZZ坐标系中,A(1,1,0),B1(0,1,1), C1(0,0,1), E(0。
    5,0,0), 向量B1E=(0。5,-1,-1), 向量C1E=0。5,1,-1)。设面B1EC1的法向量n=(x,y,z), 由向量n*向量B1E=0,得0。5x-y-z=0,向量n*向量C1E=0,得0。
  5x+y-z=0, ∴ y=0 x=2z,取z=0。  5, 则向量n=(1,0,0。5), |向量n|=√5/2,向量AE=(-0。5,1,0),|向量AE|=√5/2,向量n*向量AE=-0。
  5,cos=-2/5 点A到面B1EC1的距离d=|向量AE|×|cos|=√5/5。(1) 如下图①所示 设CD1∩C1D=O1,则AO1⊥CD1, ∵AD⊥面CC1D1D,由三垂线(1) 如下图①所示 设CD1∩C1D=O1,则AO1⊥CD1, ∵AD⊥面CC1D1D,由三垂线逆定理,AO1⊥CD1, AO1=√[AD^2+(DO1)^2]=√6/2为所求距离。
     (2) ∵ AB面BD1, ∴ AB⊥AD1。在Rt△BAD1中, AH=AB×AD1/BD1=√2/√3=√6/3为所求距离。 (3) ∵ AO2⊥面BD1, AO2=√2/2为所求距离。
   (4) 设A到平面A1BD距离为h,由三棱锥A-A1BD的体积=三棱锥A1-ABD的体积,即(√3/4)×(√2)^2×h=(1/2)×1,得h=√3/3。   (5) ∵ AA1∥面BB1DD1, ∴ AA1与平面BB1DD1到距离=点A到平面BB1DD1距离=√2/2[见(3)问] (6) 如下图②所示,在C-XYZZ坐标系中,A(1,1,0),B1(0,1,1), C1(0,0,1), E(0。
  5,0,0), 向量B1E=(0。  5,-1,-1), 向量C1E=0。5,1,-1)。设面B1EC1的法向量n=(x,y,z), 由向量n*向量B1E=0,得0。5x-y-z=0,向量n*向量C1E=0,得0。
  5x+y-z=0, ∴ y=0 x=2z,取z=0。5, 则向量n=(1,0,0。5), |向量n|=√5/2,向量AE=(-0。  5,1,0),|向量AE|=√5/2,向量n*向量AE=-0。
  5,cos=-2/5 点A到面B1EC1的距离d=|向量AE|×|cos|=√5/5。