超难数学题~！！！大学生`博士`
设AC=BF=x, FC=AE=y,EC=x-y,BC=x+y
tan(AFC)=AC/FC=x/y, tan(EBC)=(x-y)/(x+y)
角APE=角AFC-角EBC
所以
tan(APE)=[tan(AFC)-tan(EBC)]/[1+tan(AFC)tan(EBC)]
=[(x/y)-(x-y)/(x+y)]/[1+(x/y)((x-y)/(x+y))]=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=1。
所以角APE=45度。
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如果你不想用三角去算，也是可以的：用三角形做。
设AC=BF=x, FC=AE=y,EC=x-y,BC=x+y。AF=根号{AC^2+...全部
设AC=BF=x, FC=AE=y,EC=x-y,BC=x+y
tan(AFC)=AC/FC=x/y, tan(EBC)=(x-y)/(x+y)
角APE=角AFC-角EBC
所以
tan(APE)=[tan(AFC)-tan(EBC)]/[1+tan(AFC)tan(EBC)]
=[(x/y)-(x-y)/(x+y)]/[1+(x/y)((x-y)/(x+y))]=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)=1。
所以角APE=45度。
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如果你不想用三角去算，也是可以的：用三角形做。
设AC=BF=x, FC=AE=y,EC=x-y,BC=x+y。AF=根号{AC^2+FC^2}=根号{x^2+y^2}。
BE=根号{(x+y)^2+(x-y)^2}=根号{2(x^2+y^2)}。
过E作EQ垂直AF交AF于Q，过P作PT垂直BC交BC于T。
三角形AQE与三角形ACQ相似，所以EQ/AE=FC/AF
--->EQ=y^2/根号{x^2+y^2}, AQ=xy/根号{x^2+y^2}。
PT//AC，所以
PT/AC=FT/FC--->PT=FT*(x/y)
PT//EC,所以
PT/EC=BT/BC--->PT=(x+FT)*(x-y)/(x+y)
--->FT*x/y=(x+FT)*(x-y)/(x+y)
--->FT=xy(x-y)/(x^2+y^2)
因此PF/AF=FT/FC
--->PF=x(x-y)/根号{x^2+y^2}
AQ+PF=xy/根号{x^2+y^2}+x(x-y)/根号{x^2+y^2}=x^2/根号{x^2+y^2}
所以PQ=AF-AQ-PF=根号{x^2+y^2}-x^2/根号{x^2+y^2}
=y^2/根号{x^2+y^2}=EQ
直角三角形中EQ=PQ，所以角APE=45度。
。收起
