函数是什么？函数的定义？
三、函数的定义
定义 设 与 是某一过程中的两个变量,如果当变量 在变化范围 中任取一个数值时,变量 按照一定的对应规则,总有确定的数值和它相对应,则称变量 为变量 的函数,记作 ,其中 称为自变量, 称为因变量, 称为对应法则。
函数 当 时的函数值，记作 或 。
自变量 的变化范围 称为函数的定义域, 函数 取值的全体称为函数的值域。
如，圆的面积 与它的半径 之间的关系由公式 给定, 面积 与它的半径 都是变量,当半径 在区间 内任意取定一个数值时,由 就确定一个相应的圆面积 的数值,因此面积 是它的半径 的函数。
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三、函数的定义
定义 设 与 是某一过程中的两个变量,如果当变量 在变化范围 中任取一个数值时,变量 按照一定的对应规则,总有确定的数值和它相对应,则称变量 为变量 的函数,记作 ,其中 称为自变量, 称为因变量, 称为对应法则。
函数 当 时的函数值，记作 或 。
自变量 的变化范围 称为函数的定义域, 函数 取值的全体称为函数的值域。
如，圆的面积 与它的半径 之间的关系由公式 给定, 面积 与它的半径 都是变量,当半径 在区间 内任意取定一个数值时,由 就确定一个相应的圆面积 的数值,因此面积 是它的半径 的函数。
又如， 中 都是变量,当变量 在区间 内任意取定一个数值时,变量 有两个确定的值与 对应, 因此变量 是变量 的函数。
关于函数的定义做以下说明:
1。
符号“ ”的意义
符号“ ”表示自变量 与函数 的某种对应规则。
例如 ,它的对应法则“ ”就是自变量的平方乘以2减去自变量的3倍加上1,不妨简化为 。
如，当 时,对应的函数值为 ;
同样当 时,对应的函数值为 。
2。单值函数和多值函数
如果函数 对定义域内任一自变量的值都只有一个确定的值与之对应,这个函数就称为单值函数,如果有两个或更多的值与之对应,就称为多值函数。
如举例中的 为单值函数, 为多值函数。
以后谈到的函数如无特别说明都是指单值函数。
3。确定函数的两个要素——定义域、对应法则。
所谓两个函数相同，是指它们的定义域和对应法则均相同。
如， 函数 与 不是相同的两个函数。
事实上 的定义域为: ,
的定义域为: ,
由于两个函数的定义域不同,所以两个函数不相同。
又如，函数 与 是相同的函数。
事实上， 的定义域为: ,对应法则为: ,
的定义域为: ,对应法则为: 。
由于两个函数的定义域和对应法则都相同,只是自变量和因变量所选字母不同,所以两个函数相同。
在求函数定义域时,常常遇到下面几种情况:
(1) 若函数 是多项式,则定义域为一切实数;
(2) 若函数 是分式函数,则要求分式的分母的表达式不为零。
(3) 若函数 是偶次根式函数,则要求偶次根号下的表达式非负。
(4) 若函数 是对数函数, 则要求对数中的真数表达式大于零。
(5) 若函数 是由几部分代数式组成,则定义域是使这几部分代数式都有意义的 值的全体。
例1 求 的定义域。
分析 由对数中的真数表达式大于零知， ,
由根式中的偶次根号下的表达式非负知， ,
由分式分母的表达式不为零知， ,
联立求解即可。
解 应使 ， 即 。 所以 ， 故定义域为: 。 。收起
