友好矩形问题

（附加题）（1）对于任意给定的一个矩形C，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的2倍？请说明你的理由；（2）当实数m为什么值，对于任何一个矩形C，都存在另一个矩形，它的周长与面积都是矩形C的m倍？证明你的结论．

试题答案：（1）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．则x y=2(a b)xy=2ab∴x，y是方程t2-2（a b）t 2ab=0的两实根．∵△=4（a b）2-8ab=4（a2 b2）＞0，∴方程有解．所以，对于长与宽分别为a，b矩形，存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形；（2）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．则x y=m(a b)xy=mab∴x，y是方程t2-m（a b）t mab=0的两实根．当△=[m（a b）]2-4mab≥0，即m≥4ab(a b)2时，方程有解．所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当m≥4ab(a b)2时，存在周长与面积...全部

  试题答案：（1）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．则x y=2(a b)xy=2ab∴x，y是方程t2-2（a b）t 2ab=0的两实根．∵△=4（a b）2-8ab=4（a2 b2）＞0，∴方程有解．所以，对于长与宽分别为a，b矩形，存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形；（2）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．则x y=m(a b)xy=mab∴x，y是方程t2-m（a b）t mab=0的两实根．当△=[m（a b）]2-4mab≥0，即m≥4ab(a b)2时，方程有解．所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当m≥4ab(a b)2时，存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形．∵（a-b）2≥0，∴a2 b2≥2ab，a2 b2 2ab≥4ab，即（a b）2≥4ab，4ab(a b)2≤1，∴4ab(a b)2的最大值为1．∴当m≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形．。
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