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数学立体几何

如图,已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a,e、f分别是楞aa1、cc1的中点,(1)求证:四边形ebfd1为菱形;(2)求四棱锥a1-ebfd1的体积

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2010-06-10

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    根据叙述,画图如下。 (1)要证EBFD1为菱形,需证四点共面且四边相等。 四边相等容易看出,因为四条边都是直角边长为a和a/2的直角三角形的斜边,故四边相等。关键是要证四点共面,这只要说明BF//ED1就可以了。
   为此,取DD1的中点G,连接AG和FG。   FG和AB平行且相等(因为FG和AB都与DC平行且相等),故ABFG是平行四边形,由此知BF//AG。 由于ED1也平行于AG,即ED1//AG,故BF//ED1,于是,菱形得证。
   (2)求四棱锥A1-EBFD1的体积。 连接BD1。 四棱锥A1-EBFD1可看作被平面A1BD1分成了两个底面积相等的三棱锥,其高(即A1到底面的距离)也相同,故这两个三棱锥的体积相等。
      算出一个再乘2就可以了。 三棱锥A1-EBD1也可看作是三棱锥D1-A1EB,而三棱锥D1-A1EB的底面积和高都是很容易找到的:D1A1是其高。
  (因为D1A1显然垂直于平面A1EB)。
  底面A1EB的面积是边长为a的正方形面积的1/4 D1A1=a,A1EB的面积=a^2/4 三棱锥D1-A1EB的体积=(1/3)*底面积*高=a^3/12 ∴ 四棱锥A1-EBFD1的体积=a^3/6 。

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