已知数列｛an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1

已知数列｛an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1

a1=1======================＞a1+1=2(2¹) a2=2a1+1=3================＞a2+1=4(2²) a3=2a2+1=7================＞a3+1=8(2³) 。 。。。。。 a(n)=2a(n-1)+1========＞a(n)+1=2a(n-1)+2=2ˆ(n)------① a(n+1)=2an+1=2a(n)+1==＞a(n+1)+1=2a(n)+2=2ˆ(n+1)----② a(n+2)=2a(n+1)+1=2×[2a(n)+1]+1=4a(n)+3====＞ ...全部

  a1=1======================＞a1+1=2(2¹) a2=2a1+1=3================＞a2+1=4(2²) a3=2a2+1=7================＞a3+1=8(2³) 。
  。。。。。 a(n)=2a(n-1)+1========＞a(n)+1=2a(n-1)+2=2ˆ(n)------① a(n+1)=2an+1=2a(n)+1==＞a(n+1)+1=2a(n)+2=2ˆ(n+1)----② a(n+2)=2a(n+1)+1=2×[2a(n)+1]+1=4a(n)+3====＞ ------------------------a(n+2)+1=4a(n)+4=2ˆ(n+2)----③ ②平方得：[2ˆ(n)×2¹]²=2ˆ(2n)×2² ①×③得：[2ˆ(n)]×[2ˆ(n)×2²]=2ˆ(2n)×2² ∴数列﹛a(n)+1﹜符合：中间项的平方=两外项之乘积， ∴数列﹛a(n)+1﹜是首项为2，2为公比的等比数列 其通项公式是：a(n)+1=2[a(n)+1]=2ˆ(n) 其前n项的和是：Sn=2¹+2²+2³+。
  。。+2ˆ(n)。收起