为什么二阶常系数齐次方程的通解的形式是指？
我们知道指数函数e^(ax)求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ,使e^(ax)满足方程上面的方程。我们可令：y=e^(ax)，代入方程得：
e^(ax)( ρ^2+a1ρ+a2)=0
因为e^(ax)≠0，所以：
ρ^2+a1ρ+a2=0
这样，对于上面二次方程的每个根ρ，e^(ax)就是方程y''+a1y'+a2y=0的一个解。 方程ρ^2+a1ρ+a2=0就被称为方程的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：
1。特征方程有两个不等的实根的情形
设此两实根为ρ1,ρ2(ρ1≠ρ2)。 于是e^(ρ1x),e^(ρ2x)是齐次方程y''...全部
我们知道指数函数e^(ax)求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ,使e^(ax)满足方程上面的方程。我们可令：y=e^(ax)，代入方程得：
e^(ax)( ρ^2+a1ρ+a2)=0
因为e^(ax)≠0，所以：
ρ^2+a1ρ+a2=0
这样，对于上面二次方程的每个根ρ，e^(ax)就是方程y''+a1y'+a2y=0的一个解。
方程ρ^2+a1ρ+a2=0就被称为方程的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：
1。特征方程有两个不等的实根的情形
设此两实根为ρ1,ρ2(ρ1≠ρ2)。
于是e^(ρ1x),e^(ρ2x)是齐次方程y''+a1y'+a2y=0的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程的通解为：
y=c1e^(ρ1x),e^(ρ2x) 其中c1，c2为实常数。
2。特征方程有重根的情形
此时特征方程的重根应为：ρ1=-a1/2，于是只能得到y''+a1y'+a2y=0的一个特解：y1=e^(ρ1x),，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：y=xe^(ρ1x)。
于是方程的通解为:
y=e^(ρ1x)(C1+C2x)
3。特征方程有共轭复根的情形
设共轭复根为ρ1=α+iβ,ρ2=α-iβ，那末y=e^(ρ1x),y=e^(ρ2x)。
是方程的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式：e^(ix)=cosx+isinx，为此可以得到方程y''+a1y'+a2y=0的通解：
y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)
由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：
1。
对照方程y''+a1y'+a2y=0写出其特征方程：ρ^2+a1ρ+a2=0；
2。求出特征方程的两个根：ρ1，ρ2
3。根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。
收起
