高等数学

1、证明方程sinx=x有且仅有一个实根想问下在定域区间进行设置的时候，是怎么选择的啊！然后在用用零点存在定理进行证明。 2、利用函数的增减性，证明下列不等式

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2009-12-06

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    （1）记f(x)=sinx-x，显然 f(x) 在 (-∞,+∞) 上连续且可导。取r＞1，则 f(-r)＞0，f(r)＜0，所以函数 f(x) 有实数值零值点【存在性】，又因为 f'(x）=cosx-1≤0 所以 f(x)在 (-∞,+∞) 上是单调递减函数，在存在的条件下，可知其零值点必唯一【唯一性】。
     （2）① 由（1）已知 f(x) 在（0,π/2)上的单调减少。所以 f(x)＜f(0)=0，即可得 sinx<x； ② 设 g(x)=2x/π-sinx，显然 g(x) 在 [0,π/2] 上连续，在 (0,π/2) 上可导。
   且 g'(x)=2/π-cosx。   当 0＜x≤arccos(2/π) 时，g'(x)＜0，g(x)单调减少， g(x)＜g(0)=0；当 arccos(2/π)＜2＜π/2 时，g'(x)＞0，g(x)单调增加， g(x)＜g(π/2)=0。
   综合可得，在 (0,π/2) 上有 2x/π＜sinx＜x。   如果用【凹凸性】来证明来证明就非常简单，但由于方法的高级，需要掌握好【凹凸性】的概念和性质。 y=sinx, 在 [0,π/2] 上连续，在 (0,π/2) 上二阶可导。
   y'=cosx, y"=-sinx＜0，曲线 y=sinx 在 [0,π/2] 上【上凸】，根据上凸曲线性质：曲线在弦上方，在切线下方，即可得【结论】2x/π＜sinx＜x。   。

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