已知函数当时求函数在上的最大值
把,代入原函数,求出原函数的导函数,由导函数的零点对定义域分段,通过列表分析导函数在各区间段内的符号,得到原函数在各区间段内的单调性,找出极值点,求出极值,求出闭区间的端点处的函数值,则函数在上的最大值可求;由函数在处有极值,则,,联立后可求,的值,则函数解析式可求;把代入原函数解析式,然后求其导函数,由函数在上是单调增函数,得到,由此可求的取值范围。 解:当,时,,所以,令,解得,列表:-极大值减函数极小值增...全部
把,代入原函数,求出原函数的导函数,由导函数的零点对定义域分段,通过列表分析导函数在各区间段内的符号,得到原函数在各区间段内的单调性,找出极值点,求出极值,求出闭区间的端点处的函数值,则函数在上的最大值可求;由函数在处有极值,则,,联立后可求,的值,则函数解析式可求;把代入原函数解析式,然后求其导函数,由函数在上是单调增函数,得到,由此可求的取值范围。
解:当,时,,所以,令,解得,列表:-极大值减函数极小值增函数从上表可知,函数在上的最大值为。
因为,所以,由已知条件,得即解得或下面分别检验:当,时,,,令,即,解得,,列表:-增函数极大值减函数极小值增函数由上表可知,在处取极小值,符合题意。当,时,,,为增函数,不合题意,舍去。所以当,时,为所求函数的解析式。
综上所述,所求函数的解析式为。 当时,,,此导函数是二次函数,二次项系数大于,且对称轴为,因为函数在上单调递增,所以在上恒成立,也就是,即,解得,所以,的取值范围是。
本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数在某区间上是单调函数,则函数的导函数在该区间上恒大于等于或恒小于等于,考查了函数解析式得求解及常用方法,利用了函数在极值点处的导数等于,考查了利用导数研究函数的最值,此题属中档题。收起
