尺规作一个正十七边形

    你问的是个大问题,我给你抄了一部分有关资料: (一)1796年3月30日．在德国格丁根大学校园里，一位18岁的青年学生吃完晚饭后，照例做导师每天布置给他的3道数学题。
  这个学生很有数学天赋，导师对他寄予了厚望，因此，在他完成固定作业之外．还会多给他布置几道较难的题。  一般情况下，这个学生会在3个小时内．把所有作业完成。 这一天，他像往常一样，不到3个小时，就把固定作业做完了。
  可是，在多布置的题中，最后一题写在一张小纸条上，要求用圆规和一把没有刻度的直尺，画出正十七边形。学生也没有特别在意，只是埋头做题。几个小时过去了，却找不到解答方法。  他想：也许是导师看到我每次做题都很顺利，就故意给我增加了一些难度吧。
  越是困难，他越想把这道题攻克。他拿着圆规和直尺，一边画一边想着各种可能的思路，一直持续到天亮。最后，这道题终于被解开了。 学生拿着自己的作业，来到导师办公室。他内疚地对导师说：“您给我布置的最后一道题，我做了整整一个通宵才解答出来。
    对不起，我辜负了您对我的期望。”导师接过他的作业一看，惊呆了，问道：“这是你昨天晚上做出来的?”“是啊。可是我很笨，竟然花了整整一个晚上的时间。” 导师让学生坐下，取出圆规和直尺，让他当面在纸上再画一个正十七边形。
  学生很快就画了出来。这时，导师激动地说：“你知道吗?你解开了一个有两千多年历史的数学悬案。  这道题，阿基米得没有做出，牛顿没有解出。你竟然在一个晚上就把它解答出来了!你真是个天才。
  我也正在研究这道题目，昨天给你留题时，我一不小心把写这道题目的小纸条夹在了给你布置的作业里。” 很多年后，这个学生回忆起那件事情时，总是说：“如果有人告诉我那是一道两千年没有解开的题目，我不可能在一个晚上把它解决。
    ”这个学生就是数学王子高斯。 (二)正十七边形正十七边形 [编辑本段]尺规作法 　　步骤一： 　　给一圆O，作两垂直的直径OA、OB， 　　作C点使OC＝1/4OB， 　　作D点使∠OCD＝1/4∠OCA， 　　作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。
     　　步骤二： 　　作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点， 　　再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 　　步骤三： 　　过G4作OA垂直线交圆O于P4， 　　过G6作OA垂直线交圆O于P6， 　　则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
     　　以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 [编辑本段]历史 　　最早的十七边形画法创造人为高斯。高斯(1777~1855年)，德国数学家、物理学家和天文学家。
  在童年时代就表现出非凡的数学天才。三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。  1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，其中许多都有着划时代的意义。
  同时，高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。 　　1801年，高斯证明：如果k是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。
     　　道理 　　当时，如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，高斯就不会画出这个正十七边形。这说明了你不怕困难，困难就会被攻克，当你惧怕困难，你就不会胜利。
   [编辑本段]正十七边形的证明方法 　　正十七边形的尺规作图存在之证明: 　　设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 　　故sin16a=-sina,而 　　sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=88sinacosacos2acos4acos8a 　　因sina不等于0,两边除之有: 　　16cosacos2acos4acos8a=-1 　　又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 　　2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 　　注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 　　x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a 　　y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 　　有: 　　x+y=-1/2 　　又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) 　　=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 　　经计算知xy=-1 　　又有 　　x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 　　其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a 　　y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 　　故有x1+x2=(-1+根号17)/4 　　y1+y2=(-1-根号17)/4 　　最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 　　可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出 (三)十七边形是几何学中所有有17条边及17只角的多边形。
     正十七边形是有17边的正多边形。正十七边形的每个内角约为158。823529411765°。 1796年，高斯成功利用尺规作图作出正十七边形，同时发现了可作图多边形的条件，并定下他要成为数学家的决心。
   可作图性亦同时显示2π/17的三角函数可以只用基本算术和平方根来表示。  高斯的书Disquisitiones包含了这条等式： }- 那年，高斯19岁…… 有一个定理在这里要用到的： 若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的， 其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
     上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。 （这一步，大家会画吧？） 而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
   下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。   设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0 a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0 则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1 同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
     再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c 这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根, 显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了 步骤一： 给一圆O，作两垂直的直径OA、OB， 在OB上作C点使OC＝1/4OB， 作D点使∠OCD＝1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆 过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
     步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点， P4为第四顶点，P6为第六顶点。
   以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 备注一 一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是一个费马质数。  换句话说，只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来，其它的正质数多边形就不可以了。
  （除非我们再发现另一个费马质数。） 备注二 黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。
    这是有史以来最繁琐的尺规作图。 备注三 正十七边形的尺规作图存在之证明: 设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 其次再设: x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4 解之可有: (大家自己解解吧~~~~) 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。
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