几何三角形

    在锐角三角形ABC中,A≥B,A≥C,A=80°,AD是BC边上的高。 求证 AD+BC>AB+AC。 这个命题不太好，我们改造如下: 命题1 在△ABC中,∠A≥90°,AD是BC边上的高。
   求证 AD+BC>AB+AC。 命题2 在△ABC中,∠A≥arccos(7/25),AD是BC边上的高。   求证 AD+BC≥AB+AC。 当且仅当∠A=arccos(7/25),b=c时等号成立。
   我们简证两个命题 设BC=a,CA=b,AB=c,AD=2S/a,S为△ABC的面积。 命题1的证明 a+2S/a>b+c 2S>a(b+c-a) 由海仑公式得: (a+b+c)*(c+a-b)*(a+b-c)>4a^2*(b+c-a) 5a^3-3a^2*(b+c)-a(b^2+c^2-2bc)-b^3-c^3+bc(b+c)>0 (5a+b+c)(a-b)*(a-c)+(b+c)(a^2-b^2-c^2)+bc(b+c-a)>0 ∵a^2>b^2+c^2,b+c>a,a>b,a>c,∴上式成立。
     命题2的证明 由海仑公式，所证不等式化简为 5a^3-3a^2*(b+c)-a(b^2+c^2-2bc)-b^3-c^3+bc(b+c)≥0 ∵∠A≥arccos(7/25),由余弦定理得: 25a^2≥25b^2+25c^2-14bc≥9(b+c)^2, 故5a≥3(b+c),上式分解为 (5a-3b-3c)*(25a^2-25b^2-25c^2+14bc)+20a(5b^2+5c^2-bc)-100(b^3+c^3)-8bc(b+c)≥0 故只需证 5a(5b^2+5c^2-bc)≥25(b^3+c^3)+2bc(b+c) =>√(25b^2+25c^2-14bc)*(5b^2+5c^2-bc)≥25(b^3+c^3)+2bc(b+c) (25b^2+25c^2-14bc)*(5b^2+5c^2-bc)^2≥[25(b^3+c^3)+2bc(b+c)]^2 。
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