三角形外接圆与九点圆

费尔巴哈定理三角形九点圆与旁切圆

三角形的九点圆与内切圆内切，三角形的九点圆与旁切圆(三个)外切。 经典平面几何书中均有详细证明。 梁绍鸿,《初等数学复习及研究》是一个习题。 江苏,中学数学,(现为中学数学月刊)96年有一文介绍。 我在外出差,手头资料不全。 下面给出一个代数简单证法。 在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心。s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c。 易得∠HAO=｜B-C｜,∠HAI=∠OAI=｜B-C｜/2; AH=2R*cosA,AO=R,AI=√...全部

  三角形的九点圆与内切圆内切，三角形的九点圆与旁切圆(三个)外切。 经典平面几何书中均有详细证明。 梁绍鸿,《初等数学复习及研究》是一个习题。 江苏,中学数学,(现为中学数学月刊)96年有一文介绍。
   我在外出差,手头资料不全。 下面给出一个代数简单证法。 在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心。s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c。
   易得∠HAO=｜B-C｜,∠HAI=∠OAI=｜B-C｜/2; AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)] 在△AHI中，由余弦定理可求得: HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2; 在△AHO中，由余弦定理可求得: HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2; 在△AIO中，由余弦定理可求得: OI^2=R(R-2r)。
   ∵九点圆心在线段HO的中点,∴在△HIO中，由中线公式可求得。 4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R-2r)^2 故IQ=(R-2r)/2。
   又△ABC的九点圆半径为R/2,所以九点圆与内切圆的圆心距为 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ。 因此 三角形的九点圆与内切圆内切。 在△AHIa中，由余弦定理可求得: IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2; 在△AOIa中，由余弦定理可求得: IaO^2=R(R+2ra)。
   在△HIaO中，由中线公式可求得。 4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R+2ra)^2 故IaQ=(R+2ra)/2。
   九点圆与∠A的旁切圆的圆心距为 d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ。 故三角形的九点圆与∠A的旁切圆外切。 因此 三角形的九点圆与旁切圆外切。 。收起