费尔巴哈定理三角形九点圆与旁切圆
三角形的九点圆与内切圆内切，三角形的九点圆与旁切圆(三个)外切。
经典平面几何书中均有详细证明。
梁绍鸿,《初等数学复习及研究》是一个习题。
江苏,中学数学,(现为中学数学月刊)96年有一文介绍。
我在外出差,手头资料不全。
下面给出一个代数简单证法。
在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心。s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c。
易得∠HAO=｜B-C｜,∠HAI=∠OAI=｜B-C｜/2;
AH=2R*cosA,AO=R,AI=√...全部
三角形的九点圆与内切圆内切，三角形的九点圆与旁切圆(三个)外切。
经典平面几何书中均有详细证明。
梁绍鸿,《初等数学复习及研究》是一个习题。
江苏,中学数学,(现为中学数学月刊)96年有一文介绍。
我在外出差,手头资料不全。
下面给出一个代数简单证法。
在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心。s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c。
易得∠HAO=｜B-C｜,∠HAI=∠OAI=｜B-C｜/2;
AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)]
在△AHI中，由余弦定理可求得:
HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;
在△AHO中，由余弦定理可求得:
HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2;
在△AIO中，由余弦定理可求得:
OI^2=R(R-2r)。
∵九点圆心在线段HO的中点,∴在△HIO中，由中线公式可求得。
4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)
=(R-2r)^2
故IQ=(R-2r)/2。
又△ABC的九点圆半径为R/2,所以九点圆与内切圆的圆心距为
d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ。
因此 三角形的九点圆与内切圆内切。
在△AHIa中，由余弦定理可求得:
IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2;
在△AOIa中，由余弦定理可求得:
IaO^2=R(R+2ra)。
在△HIaO中，由中线公式可求得。
4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)
=(R+2ra)^2
故IaQ=(R+2ra)/2。
九点圆与∠A的旁切圆的圆心距为
d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ。
故三角形的九点圆与∠A的旁切圆外切。
因此 三角形的九点圆与旁切圆外切。
。收起
