设f（x）在[-a,a]（a>0）上定义， 证明：f（x）等于一个奇函数与一个偶函数的和
以上方法，都是将已经构造好的偶函数和奇函数，变戏法似的拿出来，固然能使人拍案叫绝。
但是，我个人认为，这样的方法，只能让学生【死记硬背这构造好的两个函数的现成的形式】，而不知道【构造的过程】。
一楼的解答（其实二楼的解答与一楼的解答完全一样）和楼主的问题是完全吻合，只需要得到【分解方法的存在性】的结论。
下面是我要演示出【一楼的变戏法的慢动作】，希望让学生能从中体会出【数学演绎的乐趣】以及【数学思维的方法】
我们的目的要研究【函数f(x)分解为一个偶函数u(x)和一个奇函数v(x)之和即f(x)=u(x)+v(x)】的分解方法【存在性和唯一性】。
以下讨论区间均为[-a,a]，不再...全部
以上方法，都是将已经构造好的偶函数和奇函数，变戏法似的拿出来，固然能使人拍案叫绝。
但是，我个人认为，这样的方法，只能让学生【死记硬背这构造好的两个函数的现成的形式】，而不知道【构造的过程】。
一楼的解答（其实二楼的解答与一楼的解答完全一样）和楼主的问题是完全吻合，只需要得到【分解方法的存在性】的结论。
下面是我要演示出【一楼的变戏法的慢动作】，希望让学生能从中体会出【数学演绎的乐趣】以及【数学思维的方法】
我们的目的要研究【函数f(x)分解为一个偶函数u(x)和一个奇函数v(x)之和即f(x)=u(x)+v(x)】的分解方法【存在性和唯一性】。
以下讨论区间均为[-a,a]，不再在每式后面作反复强调了。
因为u(x)为偶函数，所以u(-x)=u(x)；
因为v(x)为奇函数，所以v(-x)=-v(x)。
①f(x)=u(x)+v(x)；
②f(-x)=u(-x)+v(-x)=u(x)-v(x)。
这在本质上是一个线性方程组：u+v=f(x)， u-v=f(-x)，
其解显然是【存在且唯一】：
①+②可得u(x)=[f(x)+f(-x)]/2；
①-②可得v(x)=[f(x)-f(-x)]/2。
问题得证。
这样我们即使记不住
【构造的结论】u(x)=[f(x)+f(-x)]/2，v(x)=[f(x)-f(-x)]/2。
也会由正确方法找到这种分解式。
请楼主自己尝试，不用现成的【构造结论】，
解【思考题】将f(x)=xe^x 分解为一个偶函数与一个奇函数的和。
。收起
