数学

高中数学题求助,急~设函数f(x

解(1):先求函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域, 由x+1＞0得x＞-1,即x∈(-1,+∞) 又 f'(x)=2x+b/(x+1) =(2x2+2x+b)/(x+1) =[(x+1/2)2+b-1/2]/(x+1) ∵ b＞1/2 , x∈(-1,+∞) ∴ f'(x)＞0 函数f(x)在定义域上单调递增。 (2):令f'(x)=(2x2+2x+b)/(x+1) =0 即 2x2+2x+b=0 得 x=(-2±√22-4×2b)/2×2 = (-1±√1-2b)/2 可知当 b＞1/2时x无实数解,此时函数f(x)无极值点; 而当 b=1/2时 f'(x)=...全部

  解(1):先求函数f(x)=x2+bln(x+1)的定义域, 由x+1＞0得x＞-1,即x∈(-1,+∞) 又 f'(x)=2x+b/(x+1) =(2x2+2x+b)/(x+1) =[(x+1/2)2+b-1/2]/(x+1) ∵ b＞1/2 , x∈(-1,+∞) ∴ f'(x)＞0 函数f(x)在定义域上单调递增。
   (2):令f'(x)=(2x2+2x+b)/(x+1) =0 即 2x2+2x+b=0 得 x=(-2±√22-4×2b)/2×2 = (-1±√1-2b)/2 可知当 b＞1/2时x无实数解,此时函数f(x)无极值点; 而当 b=1/2时 f'(x)=2x2+2x+1/2 =2(x+1/2)2≥0 符号无变化 可知函数f(x)在b=1/2时无极值点; 当 b＜1/2时 x1=(-1-√1-2b)/2 ? x2=(-1+√1-2b)/2＞-1 须进一步讨论b的取值范围 A。
  b＜0时 x1=(-1-√1-2b)/2 ＜(-1-1)/2 ＜-1 不在定义域范围,故只有一个解x2。 当x∈(-1,x2)时 ∵ x1＜-1 -x1＞1 x＞-1 x-x1＞0 x-x2＜0 x+1＞0 ∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＜0 当x∈(x2,+∞)时 则明显f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0 可知当b＜0时,x2=(-1+√1-2b)/2 为函数的唯一极小值点。
   f(x)min=(-1+√1-2b)2/4+bln[(1+√1-2b)/2] B。0＜b＜1/2 则 x1=(-1-√1-2b)/2＞-1 x2=(-1+√1-2b)/2＞-1 当 x∈(-1,x1)时 ∵ (x-x1)＜0 (x-x2)＜0 (x+1)＞0 ∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0 当 x∈(x1,x2)时 ∵ (x-x1)＞0 (x-x2)＜0 (x+1)＞0 ∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＜0 当 x∈(x2,+∞)时 ∵ (x-x1)＞0 (x-x2)＞0 (x+1)＞0 ∴ f'(x)=(x-x1)(x-x2)/(x+1)＞0 可知当0＜b＜1/2时, x1=(-1-√1-2b)/2 为函数的一极大值点; x2=(-1+√1-2b)/2 为函数的一极小值点。
   综上所述: 当b＜0时,x=(-1+√1-2b)/2 为函数的唯一极小值点。 当0＜b＜1/2时,函数有一个极大值点x1=(-1-√1-2b)/2; 有一个极小值点x2=(-1+√1-2b)/2。
   当b≥0时,无极值点。 (3):不等式ln(1+1/n)＞1/n2-1/n3。其等价于 1/n3-1/n2+ln(1+1/n)＞0 令 g(x)= x3-x2+ln(1+x) 则 g'(x)=(3x2-2x)+l/(1+x) =[3x3+(x-1)2]/(x+l) 明显当x∈[0,+∞)时 g'(x)＞0 , 函数 g(x)= x3-x2+ln(1+x)单调递增。
   又 g(0)=0 可知x∈(0,+∞)时 , g(x)＞0 当然g(1/n)=(1/n)3-(1/n)2+ln(1+1/n)＞0 所以对任意的正整数n, ln(1+1/n)＞1/n2-1/n3 证毕。
   。收起