高二数学

在棱长都为a的四面体A-BCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线EF和CE所成角的余弦值！

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2008-09-24

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    解：连接AF、DF。因为四面体A-BCD的棱长都为a，所以三角形ABC、BCD、ACD都是等边三角形。根据题意，AF、DF、CE都是等边三角形的高。
     AF=DF=CE = 根号(a^2 - (a/2)^2) = (a*根号3)/2 三角形AFD是等腰三角形，EF是三角形AFD底边AD上的高，AE = a/2,所以 EF = 根号(AF^2 - AE^2) = 根号(((a*根号3)/2)^2 - (a/2)^2) = (a*根号2)/2 根据余弦定理，有 CF^2 = EF^2 + CE^2 - 2*EF*CE*cos∠CEF 其中CF = a/2，EF = (a*根号2)/2，CE = (a*根号3)/2 带入解得 cos∠CEF = 根号6/12 异面直线EF和CE所成角的余弦值为根号6/12。

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