数学难题以三角形ABC的边BC为直径作半圆，与AB,AC分别交于D和E.过D,E作BC的垂线,垂足分别为F,G.线段DG,EF交于点M.求证：AM垂直BC.
证明：以BC所在的直线为x轴,半圆圆心O为原点建立直角坐标系。设圆的半径为1,则B(-1,0),C(1,0)。令∠EBC=A,∠DCB=B,则直线BD的方程为y=cotB·(x+1)。
同样,直线CE的方程为y=-cotA·(x-1),联立这两个方程,解得A点横坐标
xA=(cotA-cotB)/(cota+cotB)=sin(A-B)/sin(A+B)
因∠EOC=2∠EBC=2A,∠DOB=2B,
故E(cos2A,sin2A),D(-cos2B,sin2B),G(cos2A,0),F(-cos2B,0)。
于是直线DG的方程为
y=-sin2B·(x-cos2A)/(cos2A+...全部
证明：以BC所在的直线为x轴,半圆圆心O为原点建立直角坐标系。设圆的半径为1,则B(-1,0),C(1,0)。令∠EBC=A,∠DCB=B,则直线BD的方程为y=cotB·(x+1)。
同样,直线CE的方程为y=-cotA·(x-1),联立这两个方程,解得A点横坐标
xA=(cotA-cotB)/(cota+cotB)=sin(A-B)/sin(A+B)
因∠EOC=2∠EBC=2A,∠DOB=2B,
故E(cos2A,sin2A),D(-cos2B,sin2B),G(cos2A,0),F(-cos2B,0)。
于是直线DG的方程为
y=-sin2B·(x-cos2A)/(cos2A+cos2B)
直线EF的方程为
y=-sin2A·(x+cos2B)/(sin2A+sin2B)
联立这两个方程,解得M点的横坐标
xM=(sin2A·cos2B-cos2A·sin2B)/(sin2A+sin2B)
``=sin[2(A-B)]/[2sin(A+B)·cos(A-B)]
``=sin[2(A-B)]/sin(A+B)
``=xA。
故AM⊥BC。收起
