几何证明题
几何证明题设圆外切四边形有一组对边相等。证明圆心到另一组对边的中点的距离相等。
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设圆外切四边形有一组对边相等。证明圆心到另一组对边的中点的距离相等。
证明 设四边形ABCD外切于圆O，且AB=CD，不妨设BC>AD，M，N点分别是BC，AD的中点。
在BC上取两点A’ ，D’ ，使得:BA=BA’ ，CD=CD’ 。 连OA，OD，OA’ ，OD’ ，OB，OC， 易证ΔABO≌ΔA’BO，ΔDCO≌ΔD’CO，所以得:OA=OA’ ，OD=OD’ 。
因为AB=CD，AB=A’B，CD=CD’ ，所以BD’=A’C，而M点是BC的中点。 故M点亦为A’D’ 的中点。 因圆外切四边形的对边之和相等，所以有 A’D’=A’B+CD’-BC=AB+CD-BC=AD，而OA=OA’ ，OD=OD’ 。
于是，ΔA’OD’≌ΔAOD，而全等三角形的对应中线相等， 故OM=ON，命题证明。 。
在BC上取两点A’ ，D’ ，使得:BA=BA’ ，CD=CD’ 。 连OA，OD，OA’ ，OD’ ，OB，OC， 易证ΔABO≌ΔA’BO，ΔDCO≌ΔD’CO，所以得:OA=OA’ ，OD=OD’ 。
因为AB=CD，AB=A’B，CD=CD’ ，所以BD’=A’C，而M点是BC的中点。 故M点亦为A’D’ 的中点。 因圆外切四边形的对边之和相等，所以有 A’D’=A’B+CD’-BC=AB+CD-BC=AD，而OA=OA’ ，OD=OD’ 。
于是，ΔA’OD’≌ΔAOD，而全等三角形的对应中线相等， 故OM=ON，命题证明。 。
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