高中数学

P为三角形ABC内一点求|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2的最小值

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2008-05-19

0 0

    1。用*表示向量的点乘(数量积)。 AB表示起点A终点B的向量。 G表示ΔABC的重心。根据向量的加法法则(平行四边形法则),和G的性质显然有:AG=(AB+AC)/3,。
  。。 2。 |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2= =(AG+GP)*(AG+GP)+(BG+GP)*(BG+GP)+(CG+GP)*(CG+GP)= =AG*AG+BG*BG+CG*CG+3GP*GP+2GP*(AG+BG+CG)= =|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2+3|GP|^2+ +2GP*(AB+AC+BA+BC+CA+CB)/3== =|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2+3|GP|^2 所以当P=G时,|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2取最小值 |GA|^2+|GB|^2+|GC|^2。
     3。
     |GA|^2+|GB|^2+|GC|^2= =(AB+AC)*(AB+AC)/9+(BA+BC)*(BA+BC)/9+(CA+CB)*(CA+CB)/9= =[2(|AB|^2+|BC|^2+|CA|^2)+2(AB*AC+BC*BA+CB*CA)]/9= =[2(|AB|^2+|BC|^2+|CA|^2)+(AB*AC+BC*BA)+ +(AB*AC+CB*CA)+(BC*BA+CB*CA)]/9= =[2(|AB|^2+|BC|^2+|CA|^2)+(AB*AB)+ +(AC*AC)+(BC*BC)]/9= =(|AB|^2+|BC|^2+|CA|^2)/3 。

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m***

2008-05-15

56 0

    P为三角形ABC内一点求|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2的最小值解:设三角形ABC三边长为a,b,c。当P点与三角形ABC重合时，|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2有最小值，最小值等于(a^2+b^2+c^2)/3。
   附详细证明: 问题试证:到三角形三顶点的距离平方和为最小的点即是重心。   上述重心性质可改述为: 命题在ΔABC中，G是重心,M是平面上任一点。求证; MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 证明 ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G，不妨设M在ΔBGC内。
   对于ΔAMD和G，由斯特瓦尔定理得; MA^2*DG+MD^2*AG-MG^@*AD=AD*DG*AG 因为 DG=AD/3,GA=2AD/3，代入整理得: 3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3 (1) 容易算出，在ΔMBC和ΔGBC中有 MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4 GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4 将上述两式代入(1) 式得: 3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3 = MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2) 所以 MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 从等式显然可看出, 当M异于G时，有 MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2 所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。
     命题在ΔABC中，G是重心,P是平面上任一点,BC=a,CA=b,AB=c，ma,mb,mc分别表示ΔABC的中线。求证; PA^2+PB^2+PC^2≥GA^2+GB^2+GC^2 当P与G重合时取等。
   证明根据三角形惯性极矩不等式:[x,y,z为实数] (x+y+z)*(x*PA^2+y*PB^2+z*PC^2)≥a^2*yz+b^2*zx+c^2*xy (1) 取x=y=z=1时，即得: PA^2+PB^2+PC^2≥(a^2+b^2+c^2)/3 (2) (2)式取等条件是x=y=z，即重心坐标为(1,1,1)。
     而 GA=2ma/3,GB=2mb/3,GC=2mc/3。 GA^2+GB^2+GC^2=4*[(ma)^2+(mb)^2+(mc)^2]/9=(a^2+b^2+c^2)/3 所以有 PA^2+PB^2+PC^2≥GA^2+GB^2+GC^2。
   。

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蓝***

2008-10-12

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P点是三角形ABC的重心，即是三边中线的交点，重心到三边距离的平方和最小～证明：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y），则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 P点是三角形ABC的重心，即是三边中线的交点，重心到三边距离的平方和最小～证明：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y），则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 证毕参考资料：baiodu 参考资料：baiodu。
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