在三角形ABC中，角C=90°，P为三角形内一点
在三角形ABC中，角C=90°，P为三角形内一点，且S三角形PAB=S三角形PBC=S三角形PCA。求证：|PA|平方+|PB|平方=5|PC|平方。
首先要更正:：|PA|平方+|PB|平方+5|PC|平方，更改友|PA|平方+|PB|平方=5|PC|平方。
证明 已知ΔABC是直角三角形,AB为斜边，记AB=c,BC=a,CA=b。则有:
c^2=a^2+b^2。 (1)
满足:S(PAB)=S(PBC)=S(PCA),易证P是RtΔABC的重心。
设mc,ma,mb分别表示RtΔABC的对应边AB,BC,CA上的中线，则有
PC=2mc/3, PA=2ma/3, PB=2...全部
在三角形ABC中，角C=90°，P为三角形内一点，且S三角形PAB=S三角形PBC=S三角形PCA。求证：|PA|平方+|PB|平方=5|PC|平方。
首先要更正:：|PA|平方+|PB|平方+5|PC|平方，更改友|PA|平方+|PB|平方=5|PC|平方。
证明 已知ΔABC是直角三角形,AB为斜边，记AB=c,BC=a,CA=b。则有:
c^2=a^2+b^2。 (1)
满足:S(PAB)=S(PBC)=S(PCA),易证P是RtΔABC的重心。
设mc,ma,mb分别表示RtΔABC的对应边AB,BC,CA上的中线，则有
PC=2mc/3, PA=2ma/3, PB=2mb/3。
而三角形中线公式为:
4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2,
4(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2,
4(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2。
欲证明|PA|^2+|PB|^2=5|PC|^2,等价于证明
4(ma)^2+4(mb)^2=20(mc)^2 (2)
因为在RtΔABC中,4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=c^2
而4(ma)^2+4(mb)^2=4c^2+a^2+b^2=5c^2。
所以(2)式成立。收起
