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(重复)几何不等式-25

命题: 直角三角形的三条中线组成的三角形,它的外接圆半径不小于原三角形外接圆半径的5/6。

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2008-04-10

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    命题: 直角三角形的三条中线组成的三角形,它的外接圆半径不小于原三角形外接圆半径的5/6。 证明 设RtΔABC的三边长为a,b,c,相对应的中线分别为ma,mb,mc,R,Δ为RtΔABC的外接圆半径和面积。
  而以RtΔABC三中线组成的ΔA'B'C'的外接圆半径和面积分别为Rm,Δm。  显然Δm=3Δ/4。命题转化: Rm≥5R/6 (1) 根据三角形恒等式:abc=4R*Δ,ma*mb*mc=4Rm*Δm。
  故只需证明: 8*ma*mb*mc≥5*a*b*c (2) 即 64*(ma*mb*mc)^2≥25(a*b*c)^2 (3) 不失一般性,设 a^2=b^2+c^2,据三角形中线公式: 4*(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2=b^2+c^2,4*(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2=4c^2+b^2,4*(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=4b^2+c^2, 所以(3)式等价于: (4c^2+b^2)*(4b^2+c^2)≥25*b^2*c^2 (4) (4) 4*(b^2-c^2)^2≥0。
    显然成立,当三角形三角之比为:2:1:1时等号成立。 摘自pqabc777的回答。

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