平行线

高二数学题第一题：直三棱柱ABC

因为每个题目都涉及到几个小题，而上传文件有大小限制，所以作图有点复杂，看起来有点困难，请谅解。 第一题：直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ABC=90°，AB=a,BC=b,BB1=c,M,N为B1C1和AC中点，求 （1）异面直线AB1与BC1成角 因为是直三棱柱，且∠ABC=90° ，AB=a，BC=b，BB1=c 所以，由勾股定理可以得到： AC=√(a^2+b^2) BC1=√(b^2+c^2) AB1=√(a^2+c^2) 过点M作BC的垂线，垂足为E，且ME交BC1于点O； 取AB中点F，BB1中点G，连接EF、EN、MG、MN、FG 因为点M、G分别为B1C1、BB1中点 所以...全部

  因为每个题目都涉及到几个小题，而上传文件有大小限制，所以作图有点复杂，看起来有点困难，请谅解。 第一题：直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ABC=90°，AB=a,BC=b,BB1=c,M,N为B1C1和AC中点，求 （1）异面直线AB1与BC1成角 因为是直三棱柱，且∠ABC=90° ，AB=a，BC=b，BB1=c 所以，由勾股定理可以得到： AC=√(a^2+b^2) BC1=√(b^2+c^2) AB1=√(a^2+c^2) 过点M作BC的垂线，垂足为E，且ME交BC1于点O； 取AB中点F，BB1中点G，连接EF、EN、MG、MN、FG 因为点M、G分别为B1C1、BB1中点 所以，MG为△B1BC1中位线 所以，MG//BC1，且MG=BC1/2=√(b^2+c^2)/2 同理，FG//AB1，且FG=AB1/2=√(a^2+c^2)/2 EF//AC，且EF=AC/2=√(a^2+b^2)/2 那么，∠MGF就是异面直线AB1与BC1所成的角 因为ME⊥BC 所以，ME=BB1=c 所以，在Rt△MEF中由勾股定理得到：MF^2=ME^2+EF^2=c^2+[√(a^2+b^2)/2]^2=c^2+(a^2+b^2)/4=(a^2+b^2+4c^2)/4 则，在△MGF中，由余弦定理有：cos∠MGF=(MG^2+FG^2-MF^2)/(2MG*FG) 即：cos∠MGF=[(b^2+c^2)/4+(a^2+c^2)/4-(a^2+b^2+4c^2)/4]/[2*√(b^2+c^2)/2*√(a^2+c^2)/2] =-c^2/[√(b^2+c^2)*(a^2+c^2)]＜0 因为异面直线间所成的角为锐角 所以，∠MGF=π-arccos[c^2/√(b^2+c^2)*(a^2+c^2)] （2）MN长 因为点E、N分别为BC、AC中点，所以EN为△ABC中位线 所以，EN=AB/2=a/2 而ME⊥面ABC，且ME=BB1=c 所以，由勾股定理有：MN^2=ME^2+NE^2=c^2+(a/2)^2=c^2+(a^2/4)=(c^2+4a^2)/4 所以，MN=√(c^2+4a^2)/2 （3）MN与底面ABC所成角 MN与底面ABC所成的角就是∠MNE 所以，tan∠MNE=ME/EN=c/(a/2)=2c/a 所以，∠MNE=arctan(2c/a) 第二题：四棱锥S-ABCD的底面边长为4,高为6,P是高的中点,点Q是侧面SBC的重心。
  求 （1）P,Q两点间距离 因为S-ABCD为正四棱锥，所以侧棱SA=SB=SC=SD 过点S作底面ABCD的垂线，垂足为O 则，点O为底面正方形ABCD的中心 已知ABCD边长为4，所以：OA=OB=OC=OD=2√2 已知SO=6 所以，由勾股定理得到侧棱SA=SB=SC=SD=2√11 连接SQ并延长，交BC于点E 因为SB=SC 所以，SE⊥BE，且E为BC中点 那么，OE=BE=CE=AB/2=2 则由勾股定理有：SE=√(SO^2+0E^2)=2√10 那么，cos∠OSE=SO/SE=6/(2√10)=3/√10 已知点Q为侧面△SBC的重心，所以：SQ/QE=2 所以，SQ=(2/3)*SE=(2/3)*2√10=(4√10)/3 已知点P为SO中点 所以，SP=SO/2=6/2=3 那么，在△SPQ中，由余弦定理有：PQ^2=SP^2+SQ^2-2SP*SQ*cos∠PSQ =9+(160/9)-2*3*(4√10/3)*(3/√10) =5/3 所以，PQ=√(5/3)=(√15)/3 （2）异面直线PQ与BS所成角的余弦值 过点Q作SB的平行线，交BC于点F 则，∠PQF即为异面直线PQ与SB所成的角 因为QF//SB 所以，EQ/SE=QF/SB=EF/EB 即，1/3=QF/2√11=EF/2 所以，QF=2√11/3，EF=2/3 而，OE⊥BC 所以，由勾股定理有：OF^2=OE^2+EF^2=4+(4/9)=40/9 而，PO⊥面ABCD 所以，又有PF^2=PO^2+OF^2=9+(40/9)=121/9 那么，在△PQF中由余弦定理有：cos∠PQF=(PQ^2+QF^2-PF^2)/(2PQ*QF) =[(5/3)+(44/9)-(121/9)]/[2*(√15/3)*(2√11/3)] =-31/(2√165) 所以，异面直线PQ、SB所成角的余弦值为31/(2√165) （3）直线PQ与底面ABCD所成角 过点E作PQ的平行线，交SO于点G 因为EG//PQ 所以，EG与面ABCD所成的角即为PQ与底面ABCD所成的角 因为PQ//GE 所以，SP/SG=SQ/SE=2/3 即，3/SG=2/3 所以，SG=9/2 那么，OG=S0-SG=6-(9/2)=3/2 那么，tan∠GEO=OG/OE=(3/2)/2=3/4 所以，∠GEO=arctan(3/4) 即，PQ与底面ABCD所成的角为arctan(3/4)。
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