面积问题1

面积问题若A',B',C'为三角形ABC的角平分线与外接圆的笫二个交点，求证ΔA'B'C'的面积≥ΔABC的面积

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2008-03-21

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    面积问题若A',B',C'为三角形ABC的角平分线与外接圆的笫二个交点，求证 ΔA'B'C'的面积≥ΔABC的面积证明 ΔA'B'C'与ΔABC的外接圆半径相同，设外接圆半径为R。
  显然有 ∠A'=(B+C)/2,∠B'=(C+A)/2,∠C'=(A+A)/2, 根据三角形面公式: ΔA'B'C'的面积=2*R^2*sin[(B+C)/2]*sin[(C+A)/2]*sin[(A+B)/2] ΔABC的面积 =2*R^2*sinA*sinB*sinC。
     所以待证不等式等价于: sin[(B+C)/2]*sin[(C+A)/2]*sin[(A+B)/2]≥sinA*sinB*sinC cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)≥sinA*sinB*sinC 1≥8*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2) 上式即为已知不等式。
     。

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