三重积分 ω 由z=x^2
三重积分 ω 由z=x^2-y^2 ,x^2+y^2=1,z=0围成的第一卦限部分我不会画图,z=x^2-y^2是什么图形呀
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很久不来答题了。
解：此三重积分的积分域ω是由以下曲面和平面围成的:底面是XOY
平面;一个侧面是XOZ平面,一个侧面是YOZ平面,一个侧面是以原点
为园心,以1为半径,垂直于XOY平面的园柱面;顶面是双曲抛物面。
其它都很简单,主要是双曲抛物面Z=X²-Y²的形状不好理解。 下面先不管其它限制,专门研究双曲抛物面的形状。 研究方法:截面法。就是用坐标平面及平行于坐标平面的平面去截它, 看看它各个截口的形状,然后通过空间想像力把它构思出来。
(一)。令z=0,即用XOY平面去截它,由X²-Y²=(X+Y)(X-Y)=0可知, 其截口是两条相交的直线:Y=X与Y=-X。 令Z=h＞0,即用平行于XOY平面的平面去截它,其截口形状由 X²/h-y²/h=1可知,是实轴平行于X轴,虚轴平行于Y轴的等轴双曲线, 随着h的增大,其实半轴和虚半轴越来越大,也就是说,它们离Z轴越来越 远。
可以想像为"马鞍",马的脊梁就是X轴。 (Z=h＜0的情况可类似讨论, 这儿略。) (二)。令Y=0,即用XOZ平面去截它,其截口形状由Z=X²可知,是一条顶 点在原点,对称轴就是Z轴的抛物线。
令Y=h,即用平行于xoz平面的平面去截它,其截口形状由X²=Z+h² 可知,都是一些顶点在(0,h,-h²)且开口朝上的的抛物线。 (三)。
令X=0,即用YOZ平面去截它,其截口形状由Z=-Y²可知,是一条 顶点在原点,开口朝下的抛物线。 令X=h,即用平行于YOZ平面的平面去截它,其截口形状由-Y²=Z-h可 知,都是一些顶点在(h,0,h),且开口朝下的抛物线。
至此就可画出它的示意图啦! 。
其它都很简单,主要是双曲抛物面Z=X²-Y²的形状不好理解。 下面先不管其它限制,专门研究双曲抛物面的形状。 研究方法:截面法。就是用坐标平面及平行于坐标平面的平面去截它, 看看它各个截口的形状,然后通过空间想像力把它构思出来。
(一)。令z=0,即用XOY平面去截它,由X²-Y²=(X+Y)(X-Y)=0可知, 其截口是两条相交的直线:Y=X与Y=-X。 令Z=h＞0,即用平行于XOY平面的平面去截它,其截口形状由 X²/h-y²/h=1可知,是实轴平行于X轴,虚轴平行于Y轴的等轴双曲线, 随着h的增大,其实半轴和虚半轴越来越大,也就是说,它们离Z轴越来越 远。
可以想像为"马鞍",马的脊梁就是X轴。 (Z=h＜0的情况可类似讨论, 这儿略。) (二)。令Y=0,即用XOZ平面去截它,其截口形状由Z=X²可知,是一条顶 点在原点,对称轴就是Z轴的抛物线。
令Y=h,即用平行于xoz平面的平面去截它,其截口形状由X²=Z+h² 可知,都是一些顶点在(0,h,-h²)且开口朝上的的抛物线。 (三)。
令X=0,即用YOZ平面去截它,其截口形状由Z=-Y²可知,是一条 顶点在原点,开口朝下的抛物线。 令X=h,即用平行于YOZ平面的平面去截它,其截口形状由-Y²=Z-h可 知,都是一些顶点在(h,0,h),且开口朝下的抛物线。
至此就可画出它的示意图啦! 。
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