问题 以三角形ABC的边AB和AC为边长，分别向形外作正方形ABDE和ACFG,连BG和CE,两者交于P.己知BC=a,CA=b,AB=c.求AP。
问题 以三角形ABC的边AB和AC为边长，分别向形外作正方形ABDE和ACFG,连BG和CE,两者交于P。己知BC=a,CA=b,AB=c。求AP。
解 连DF,EG,AD,AF。
易证△CAE≌△BAG,∴CE=BG,∠AEP=∠ABP。
∴A,P,B,D,E五点共圆,故∠EAB=∠EPB=90°,
即AP⊥DA。
同理可证:AP⊥FA。
因此D,P,F三点共线。
在△ADF中,由余弦定理得:
DF^2=AD^2+AF^2-AD*AF*cos(90°+A)
DF^2=2c^2+2b^2-4bc*cos(90°+A) (1)
在△AEG中,由余弦定理得:
EG^2=AE^2+A...全部
问题 以三角形ABC的边AB和AC为边长，分别向形外作正方形ABDE和ACFG,连BG和CE,两者交于P。己知BC=a,CA=b,AB=c。求AP。
解 连DF,EG,AD,AF。
易证△CAE≌△BAG,∴CE=BG,∠AEP=∠ABP。
∴A,P,B,D,E五点共圆,故∠EAB=∠EPB=90°,
即AP⊥DA。
同理可证:AP⊥FA。
因此D,P,F三点共线。
在△ADF中,由余弦定理得:
DF^2=AD^2+AF^2-AD*AF*cos(90°+A)
DF^2=2c^2+2b^2-4bc*cos(90°+A) (1)
在△AEG中,由余弦定理得:
EG^2=AE^2+AG^2-2AE*AG*cos(180°-A)
EG^2=c^2+b^2-2bc*cos(180°-A) (2)
∵AP⊥DF,根据三角形面积公式[△ADF]
AP*DF=AD*AF*sin(90°+A)
故AP=AD*AF*sin(90°+A)/DF。
AP=2bc*sin(90°+A)/√[2c^2+2b^2-4bc*cos(90°+A)]
当∠A=90,AP=0,
当∠A90°,P在形外。
。收起
